(1)

\begin{align*} \lnot\forall x,P(x) & \Leftrightarrow\lnot\bigwedge_{x}P\left(x\right)\\ & \Leftrightarrow\bigvee_{x}\lnot P\left(x\right)\\ & \Leftrightarrow\exists x,\lnot P\left(x\right) \end{align*}

(1)-2

\(\lnot\forall x,P\left(x\right)\)は「任意の\(x\)について\(P\left(x\right)\)は真である」の否定となる。
これは「任意の\(x\)について\(P\left(x\right)\)は真であるとは限らない」と同じであり、「\(P\left(x\right)\)が偽となるようなある\(x\)が存在する」となる。
すなわち、\(\exists x,\lnot P\left(x\right)\)となる。

(2)

\begin{align*} \lnot\exists x,P\left(x\right) & \Leftrightarrow\lnot\bigvee_{x}P\left(x\right)\\ & \Leftrightarrow\bigwedge_{x}\lnot P\left(x\right)\\ & \Leftrightarrow\forall x,\lnot P\left(x\right) \end{align*}

(2)-2

\(\lnot\exists x,P\left(x\right)\)は「P\(\left(x\right)\)が真となるようなある\(x\)が存在する」の否定となる。
これは「P\(\left(x\right)\)が真とある\(x\)が存在しない」と同じであり、「任意の\(x\)について\(P\left(x\right)\)は偽である」となる。
すなわち、\(\forall x,\lnot P\left(x\right)\)となる。

(3)

\begin{align*} \lnot\left(\forall x\exists y,P\right) & \Leftrightarrow\exists x,\lnot\left(\exists y,P\right)\cmt{\because\lnot\left(\forall x,P\right)\Leftrightarrow\exists x,\lnot P}\\ & \Leftrightarrow\exists x\forall y,\lnot P \end{align*}

(4)

\begin{align*} \lnot\left(\exists x\forall y,P\right) & \Leftrightarrow\forall x,\lnot\left(\forall y,P\right)\cmt{\because\lnot\left(\exists x,P\right)\Leftrightarrow\forall x,\lnot P}\\ & \Leftrightarrow\forall x\exists y,\lnot P \end{align*}