(3)

任意の\(a\in X\)についてある\(b\in Y\)が存在し、\(f\left(a\right)=b\)となるので\(f^{\bullet}\left(Y\right)=\left\{ a\in X;f\left(a\right)\in Y\right\} =X\)となる。

(4)

\begin{align*} f^{\bullet}\left(\emptyset\right) & =\left\{ a\in X;f\left(a\right)\in\emptyset\right\} \\ & =\left\{ a\in X;\bot\right\} \\ & =\emptyset \end{align*} となるので題意は成り立つ。

(5)

\begin{align*} f\left(\emptyset\right) & =\left\{ f\left(x\right);x\in\emptyset\right\} \\ & =\left\{ f\left(x\right);\bot\right\} \\ & =\emptyset \end{align*} となるので題意は成り立つ。

(6)

部分集合\(A\subseteq X\)について、\(f^{\bullet}f\left(A\right)\supseteq A\)であるので\(A\)を\(X\)とすると、\(X\subseteq f^{\bullet}f\left(X\right)\subseteq X\)となるので、\(f^{\bullet}f\left(X\right)=X\)となる。

(7)

\(f^{\bullet}\left(Y\right)=X\)であり、写像は\(f:X\rightarrow Y\)なので任意の\(x\in X\)に対し、\(f\left(x\right)\in Y\)となるので、\(f\left(X\right)=\left\{ f\left(x\right)\in Y;x\in X\right\} \subseteq Y\)となる。
これより、\(ff^{\bullet}\left(Y\right)=f\left(X\right)\subseteq Y\)となる。

(8)

\begin{align*} X\setminus f^{\bullet}\left(Y\right) & =X\setminus X\\ & =\emptyset \end{align*} となるので題意は成り立つ。

(9)

\begin{align*} f^{\bullet}\left(Y\setminus f\left(X\right)\right) & =f^{\bullet}\left(Y\right)\setminus f^{\bullet}\left(f\left(X\right)\right)\\ & =X\setminus X\\ & =\emptyset \end{align*} となるので題意は成り立つ。