定義域・値域・始域・終域の定義と対応の定義域・値域の性質
定義域・値域・始域・終域の定義
写像\(f:X\rightarrow Y\)があるとする。
すなわち\(\Def\left(f\right)=\left\{ x\in X;\exists y\in Y,f\left(x\right)=y\right\} \)である。
これは始域の部分集合\(\Def\left(f\right)\subseteq X\)となる。
また、逆像を使うと\(\Def\left(f\right)=\left\{ x\in X;\exists y\in Y,f\left(x\right)=y\right\} =f^{\bullet}\left(Y\right)\)となる。
普通の写像は全域写像であり始域と定義域が等しいので\(\dom\left(f\right)=\Def\left(f\right)\)となる。
すなわち\(\ran\left(f\right)=\left\{ y\in Y;\exists x\in X,y=f\left(x\right)\right\} \)である。
これは終域の部分集合\(\ran\left(f\right)\subseteq Y\)となる。
また、値域は像を使うと\(f\left(X\right)=\left\{ f\left(x\right)\in Y;x\in X\right\} \)となり、定義域を使うと\(f\left(\Def\left(f\right)\right)=\left\{ f\left(x\right)\in Y;x\in\Def\left(f\right)\right\} \)となる。
値域と終域が等しい\(\cod\left(f\right)=\ran\left(f\right)\)ときに\(f\)は全射となる。
対応の定義域・値域の性質
対応\(f:X\rightarrow Y\)のグラフを\(G\left(f\right)\)として、逆対応\(f^{\bullet}:Y\rightarrow X\)のグラフを\(G\left(f^{\bullet}\right)\)とすると定義域と値域は次のようになる。
定義域・値域・始域・終域の定義
写像\(f:X\rightarrow Y\)があるとする。
(1)始域
\(X\)を\(f\)の始域または域(domain)といい、\(\dom\left(f\right)\)で表す。(2)終域
\(Y\)を\(f\)の終域または余域(codomain)といい、\(\cod\left(f\right)\)で表す。(3)定義域
ある\(y\in Y\)が存在するような\(x\in X\)全体からなる集合を\(f\)の定義域といい、\(\Def\left(f\right)\)で表す。すなわち\(\Def\left(f\right)=\left\{ x\in X;\exists y\in Y,f\left(x\right)=y\right\} \)である。
これは始域の部分集合\(\Def\left(f\right)\subseteq X\)となる。
また、逆像を使うと\(\Def\left(f\right)=\left\{ x\in X;\exists y\in Y,f\left(x\right)=y\right\} =f^{\bullet}\left(Y\right)\)となる。
普通の写像は全域写像であり始域と定義域が等しいので\(\dom\left(f\right)=\Def\left(f\right)\)となる。
(4)値域
ある\(x\in X\)が存在するような\(y\in Y\)全体からなる集合を\(f\)の値域といい、\(\ran\left(f\right)\)で表す。すなわち\(\ran\left(f\right)=\left\{ y\in Y;\exists x\in X,y=f\left(x\right)\right\} \)である。
これは終域の部分集合\(\ran\left(f\right)\subseteq Y\)となる。
また、値域は像を使うと\(f\left(X\right)=\left\{ f\left(x\right)\in Y;x\in X\right\} \)となり、定義域を使うと\(f\left(\Def\left(f\right)\right)=\left\{ f\left(x\right)\in Y;x\in\Def\left(f\right)\right\} \)となる。
値域と終域が等しい\(\cod\left(f\right)=\ran\left(f\right)\)ときに\(f\)は全射となる。
対応の定義域・値域の性質
対応\(f:X\rightarrow Y\)のグラフを\(G\left(f\right)\)として、逆対応\(f^{\bullet}:Y\rightarrow X\)のグラフを\(G\left(f^{\bullet}\right)\)とすると定義域と値域は次のようになる。
(5)
\[ \dom\left(f\right)=\left\{ x;\exists y\in Y,\left(x,y\right)\in G\left(f\right)\right\} \](6)
\[ \ran\left(f\right)=\left\{ y;\exists x\in X,\left(x,y\right)\in G\left(f\right)\right\} \](7)
\[ \dom\left(f\right)=\ran\left(f^{\bullet}\right) \](8)
\[ \ran\left(f\right)=\dom\left(f^{\bullet}\right) \](9)
対応の定義域は\(f\left(x\right)\ne\emptyset\)となる\(x\)全体の集合となる。(10)
対応の値域は\(f^{\bullet}\left(y\right)\ne\emptyset\)となる\(y\)全体の集合となる。写像\(f:\left\{ x_{1},x_{2}\right\} \rightarrow\left\{ y_{1},y_{2}\right\} \)を\(f\left(x_{1}\right)=y_{1},f\left(x_{2}\right)=y_{1}\)とする。
このとき、始域は\(\dom\left(f\right)=\left\{ x_{1},x_{2}\right\} \)、終域は\(\cod\left(f\right)=\left\{ y_{1},y_{2}\right\} \)、定義域は\(\Def\left(f\right)=\left\{ x_{1},x_{2}\right\} \)、値域は\(\ran\left(f\right)=\left\{ y_{1}\right\} \)となる。
このとき、始域は\(\dom\left(f\right)=\left\{ x_{1},x_{2}\right\} \)、終域は\(\cod\left(f\right)=\left\{ y_{1},y_{2}\right\} \)、定義域は\(\Def\left(f\right)=\left\{ x_{1},x_{2}\right\} \)、値域は\(\ran\left(f\right)=\left\{ y_{1}\right\} \)となる。
(5)
\(f\)の定義域はある\(y\in Y\)が存在するような\(\left(x,y\right)\in G\)の\(x\)なので、\(\dom\left(f\right)=\left\{ x;\exists y\in Y,\left(x,y\right)\in G\left(f\right)\right\} \)となる。(6)
\(f\)の値域はある\(x\in X\)が存在するような\(\left(x,y\right)\in G\)の\(y\)なので、\(\ran\left(f\right)=\left\{ y;\exists x\in X,\left(x,y\right)\in G\left(f\right)\right\} \)となる。(7)
\begin{align*} \dom\left(f\right) & =\left\{ x;\exists y\in Y,\left(x,y\right)\in G\left(f\right)\right\} \\ & =\left\{ x;\exists y\in Y,\left(y,x\right)\in G\left(f^{\bullet}\right)\right\} \\ & =\ran\left(f^{\bullet}\right) \end{align*}(8)
\begin{align*} \ran\left(f\right) & =\left\{ y;\exists x\in X,\left(x,y\right)\in G\left(f\right)\right\} \\ & =\left\{ y;\exists x\in X,\left(y,x\right)\in G\left(f^{\bullet}\right)\right\} \\ & =\dom\left(f^{\bullet}\right) \end{align*}(9)
\begin{align*} \dom\left(f\right) & =\left\{ x;\exists y\in Y,\left(x,y\right)\in G\left(f\right)\right\} \\ & =\left\{ x;\exists y\in Y,y\in f\left(x\right)\right\} \\ & =\left\{ x;f\left(x\right)\ne\emptyset\right\} \end{align*} となるので成り立つ。(10)
\begin{align*} \ran\left(f\right) & =\left\{ y;\exists x\in X,\left(x,y\right)\in G\left(f\right)\right\} \\ & =\left\{ y;\exists x\in X,\left(y,x\right)\in G\left(f^{\bullet}\right)\right\} \\ & =\left\{ y;\exists x\in X,x\in f^{\bullet}\left(y\right)\right\} \\ & =\left\{ y;f^{\bullet}\left(y\right)\ne\emptyset\right\} \end{align*} となるので成り立つ。
ページ情報
| タイトル | 定義域・値域・始域・終域の定義と対応の定義域・値域の性質 |
| URL | https://www.nomuramath.com/vuqeabax/ |
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定値写像の定義
\[
\forall x_{1},x_{2}\in X,f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)
\]
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\[
\id_{X}:X\rightarrow X,x\mapsto x
\]
単射、全射、全単射の定義
\[
a\ne b\Rightarrow f\left(a\right)\ne f\left(b\right)
\]
単射・全射と左・右逆写像の関係と選択公理
選択公理を認めることと全射ならば右逆写像が存在することは同値である。