定値写像の定義
定値写像は2通りの定義がある。
つまり、\(\exists y\in Y,\forall x\in X,f\left(x\right)=y\)である。
つまり、\(\forall x_{1},x_{2}\in X,f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)\)である。
定値写像は2通りの定義がある。
(a)定義１
写像\(f:X\rightarrow Y\)があるとき、ある\(y\in Y\)が存在し、任意の\(x\in X\)に対し\(f\left(x\right)=y\)となるとき\(f\)を定値写像という。つまり、\(\exists y\in Y,\forall x\in X,f\left(x\right)=y\)である。
(b)定義2
写像\(f:X\rightarrow Y\)があるとき、任意の\(x_{1},x_{2}\in X\)に対し\(f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)\)となるとき、\(f\)を定値写像という。つまり、\(\forall x_{1},x_{2}\in X,f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)\)である。
(a)\(\Rightarrow\)(b)は成り立つが、(b)\(\nRightarrow\)(a)なので注意。
\(X\)が空集合のとき(b)は定値写像となるが、\(Y\)が空集合のとき(a)は定値写像とならない。
すなわち、写像\(f:X\rightarrow Y\)で\(X,Y\)が空集合のとき、(a)は定値写像ではないが、(b)は定値写像となる。
\(X\)が空集合でないとき、\(Y\)が空集合では写像にならないので空集合ではなく、(a)と(b)は同じとなる。
\(X\)が空集合のとき(b)は定値写像となるが、\(Y\)が空集合のとき(a)は定値写像とならない。
すなわち、写像\(f:X\rightarrow Y\)で\(X,Y\)が空集合のとき、(a)は定値写像ではないが、(b)は定値写像となる。
\(X\)が空集合でないとき、\(Y\)が空集合では写像にならないので空集合ではなく、(a)と(b)は同じとなる。
ページ情報
| タイトル | 定値写像の定義 |
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