恒等写像・包含写像・商写像の定義
恒等写像・包含写像・商写像を次で定義する。
恒等写像は全単射となる。
恒等写像は記号\(\id\)や集合\(X\)を明示して\(\id_{X}\)や数字の1に\(X\)で\(1_{X}\)で表すことがある。
恒等写像は包含写像でもある。
包含写像は単射となる。
包含写像はアルファベットのアイ\(i\)やギリシャ文字のイオタ\(\iota\)で表すことがある。
包含写像を\(i:X\hookrightarrow Y\)で表すこともある。
標準的単射や自然な単射ともいう。
商写像は全射となる。
標準的全射や自然な全射ともいう。
恒等写像・包含写像・商写像を次で定義する。
(1)恒等写像
写像\(\id_{X}:X\rightarrow X\)が\(\id_{X}\left(x\right)=x\)を満たすとき恒等写像という。恒等写像は全単射となる。
恒等写像は記号\(\id\)や集合\(X\)を明示して\(\id_{X}\)や数字の1に\(X\)で\(1_{X}\)で表すことがある。
恒等写像は包含写像でもある。
(2)包含写像
\(X\subseteq Y\)として、写像\(i:X\rightarrow Y\)が\(i\left(x\right)=x\)を満たすとき包含写像という。包含写像は単射となる。
包含写像はアルファベットのアイ\(i\)やギリシャ文字のイオタ\(\iota\)で表すことがある。
包含写像を\(i:X\hookrightarrow Y\)で表すこともある。
標準的単射や自然な単射ともいう。
(3)商写像
集合\(X\)における同値関係\(\sim\)が与えられたとき、\(x\in X\)の同値類を\(C\left(x\right)\)とすると、写像\(\pi:X\rightarrow X/\sim,x\mapsto C\left(x\right)\)を商写像という。商写像は全射となる。
標準的全射や自然な全射ともいう。
写像\(f:\left\{ x_{1},x_{2}\right\} \rightarrow\left\{ y_{1},y_{2}\right\} \)が\(f\left(x_{1}\right)=y_{1},f\left(x_{2}\right)=y_{2}\)となるとき\(f\)は恒等写像である。
写像\(f:\left\{ x_{1}\right\} \rightarrow\left\{ y_{1},y_{2}\right\} \)が\(f\left(x_{1}\right)=y_{1}\)となるとき\(f\)は包含写像である。
\(x_{1}\sim x_{2}\)として、写像\(f:\left\{ x_{1},x_{2}\right\} \rightarrow\left\{ C\left(x_{1}\right)\right\} \)が\(f\left(x_{1}\right)=C\left(x_{1}\right),f\left(x_{2}\right)=C\left(x_{2}\right)\)となるとき\(f\)は商写像となる。
写像\(f:\left\{ x_{1}\right\} \rightarrow\left\{ y_{1},y_{2}\right\} \)が\(f\left(x_{1}\right)=y_{1}\)となるとき\(f\)は包含写像である。
\(x_{1}\sim x_{2}\)として、写像\(f:\left\{ x_{1},x_{2}\right\} \rightarrow\left\{ C\left(x_{1}\right)\right\} \)が\(f\left(x_{1}\right)=C\left(x_{1}\right),f\left(x_{2}\right)=C\left(x_{2}\right)\)となるとき\(f\)は商写像となる。
ページ情報
| タイトル | 恒等写像・包含写像・商写像の定義 |
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単射、全射、全単射の定義
\[
a\ne b\Rightarrow f\left(a\right)\ne f\left(b\right)
\]
単射・全射と左・右逆写像の関係と選択公理
選択公理を認めることと全射ならば右逆写像が存在することは同値である。
逆写像・可逆・左逆写像・右逆写像の定義と逆写像の性質
\[
g\circ f=\id_{X}
\]
逆対応の定義と性質
\[
f^{\bullet}\left(y\right):=\left\{ x\in X;y\in f\left(x\right)\subseteq Y\right\}
\]