上極限集合と下極限集合の定義
集合列\(\left(A_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)が与えられているとする。

(1)上極限集合

\[ \limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n}=\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}A_{k} \]

(2)下極限集合

\[ \liminf_{n\rightarrow\infty}A_{n}=\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k=n}^{\infty}A_{k} \]

(3)極限集合

上限極限集合と下極限集合が一致するとき、すなわち\(\limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n}=\liminf_{n\rightarrow\infty}A_{n}\)となるときその集合を\(\lim_{n\rightarrow\infty}A_{n}\)と表し、これを極限集合という。

(1)

上極限集合\(x\in\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}A_{k}\)は任意の\(n\geq1\)に対し、ある\(k\geq n\)が存在し\(x\in A_{k}\)となる。
つまり、\(x\in\limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n}\)であることと、\(n_{1}<n_{2}<\cdots\)となるある数列\(n_{1},n_{2},\cdots\)が存在し、任意の\(k\in\mathbb{N}\)について、\(x\in A_{n_{k}}\)となることは同値である。
下極限集合\(x\in\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k=n}^{\infty}A_{k}\)はある自然数\(n\in\mathbb{N}\)が存在し、\(n\leq k\)ならば\(x\in A_{k}\)となるということである。
これより明らかに、\(\liminf_{n\rightarrow\infty}A_{n}\subseteq\limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n}\)が成り立つ。

(2)

\(\bigcup_{k=n}^{\infty}A_{k}\)は\(n\)について単調減少となるので、
\begin{align*} \limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n} & =\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}A_{k}\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}A_{k} \end{align*} となる。
同様に\(\bigcap_{k=n}^{\infty}A_{k}\)は\(n\)について単調増加となるので、
\begin{align*} \liminf_{n\rightarrow\infty}A_{n} & =\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k=n}^{\infty}A_{k}\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\bigcap_{k=n}^{\infty}A_{k} \end{align*} となる。

(1)

集合列\(\left(A_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)を
\[ A_{n}=\begin{cases} A & n=1,3,5,\cdots\\ B & n=2,4,6,\cdots \end{cases} \] とする。
\begin{align*} \limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n} & =\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}A_{k}\\ & =\bigcap_{n=1}^{\infty}\left(\bigcup_{k=n}^{\infty}A_{2k-1}\cup\bigcup_{k=n}^{\infty}A_{2k}\right)\\ & =\bigcap_{n=1}^{\infty}\left(\bigcup_{k=n}^{\infty}A\cup\bigcup_{k=n}^{\infty}B\right)\\ & =\bigcap_{n=1}^{\infty}\left(A\cup B\right)\\ & =A\cup B \end{align*} \begin{align*} \liminf_{n\rightarrow\infty}A_{n} & =\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k=n}^{\infty}A_{k}\\ & =\bigcup_{n=1}^{\infty}\left(\bigcap_{k=n}^{\infty}A_{2k-1}\cap\bigcap_{k=n}^{\infty}A_{2k}\right)\\ & =\bigcup_{n=1}^{\infty}\left(\bigcap_{k=n}^{\infty}A\cap\bigcap_{k=n}^{\infty}B\right)\\ & =\bigcup_{n=1}^{\infty}\left(A\cap B\right)\\ & =A\cap B \end{align*}

(2)

集合列\(\left(A_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)を
\[ A_{n}=\begin{cases} \left\{ a\right\} & n=1,3,5,\cdots\\ \left\{ a,b\right\} & n=2,4,6,\cdots \end{cases} \] とする。
\begin{align*} \limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n} & =\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}A_{k}\\ & =\bigcap_{n=1}^{\infty}\left(\bigcup_{k=n}^{\infty}A_{2k-1}\cup\bigcup_{k=n}^{\infty}A_{2k}\right)\\ & =\bigcap_{n=1}^{\infty}\left(\bigcup_{k=n}^{\infty}\left\{ a\right\} \cup\bigcup_{k=n}^{\infty}\left\{ a,b\right\} \right)\\ & =\bigcap_{n=1}^{\infty}\left(\left\{ a\right\} \cup\left\{ a,b\right\} \right)\\ & =\bigcap_{n=1}^{\infty}\left\{ a,b\right\} \\ & =\left\{ a,b\right\} \end{align*} \begin{align*} \liminf_{n\rightarrow\infty}A_{n} & =\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k=n}^{\infty}A_{k}\\ & =\bigcup_{n=1}^{\infty}\left(\bigcap_{k=n}^{\infty}A_{2k-1}\cap\bigcap_{k=n}^{\infty}A_{2k}\right)\\ & =\bigcup_{n=1}^{\infty}\left(\bigcap_{k=n}^{\infty}\left\{ a\right\} \cap\bigcap_{k=n}^{\infty}\left\{ a,b\right\} \right)\\ & =\bigcup_{n=1}^{\infty}\left(\left\{ a\right\} \cap\left\{ a,b\right\} \right)\\ & =\bigcup_{n=1}^{\infty}\left\{ a\right\} \\ & =\left\{ a\right\} \end{align*}

(3)

集合列\(\left(A_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)を\(A_{n}=\left[-1,1+\left(-1\right)^{n}\right]\)とする。
\begin{align*} \limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n} & =\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}A_{k}\\ & =\bigcap_{n=1}^{\infty}\left(\bigcup_{k=n}^{\infty}A_{2k-1}\cup\bigcup_{k=n}^{\infty}A_{2k}\right)\\ & =\bigcap_{n=1}^{\infty}\left(\bigcup_{k=n}^{\infty}\left[-1,1+\left(-1\right)^{2k-1}\right]\cup\bigcup_{k=n}^{\infty}\left[-1,1+\left(-1\right)^{2k}\right]\right)\\ & =\bigcap_{n=1}^{\infty}\left(\bigcup_{k=n}^{\infty}\left[-1,0\right]\cup\bigcup_{k=n}^{\infty}\left[-1,2\right]\right)\\ & =\bigcap_{n=1}^{\infty}\left(\left[-1,0\right]\cup\left[-1,2\right]\right)\\ & =\bigcap_{n=1}^{\infty}\left[-1,2\right]\\ & =\left[-1,2\right] \end{align*} \begin{align*} \liminf_{n\rightarrow\infty}A_{n} & =\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k=n}^{\infty}A_{k}\\ & =\bigcup_{n=1}^{\infty}\left(\bigcap_{k=n}^{\infty}A_{2k-1}\cap\bigcap_{k=n}^{\infty}A_{2k}\right)\\ & =\bigcup_{n=1}^{\infty}\left(\bigcap_{k=n}^{\infty}\left[-1,1+\left(-1\right)^{2k-1}\right]\cap\bigcap_{k=n}^{\infty}\left[-1,1+\left(-1\right)^{2k}\right]\right)\\ & =\bigcup_{n=1}^{\infty}\left(\bigcap_{k=n}^{\infty}\left[-1,0\right]\cap\bigcap_{k=n}^{\infty}\left[-1,2\right]\right)\\ & =\bigcup_{n=1}^{\infty}\left(\left[-1,0\right]\cap\left[-1,2\right]\right)\\ & =\bigcup_{n=1}^{\infty}\left[-1,0\right]\\ & =\left[-1,0\right] \end{align*}

(4)

集合列\(\left(A_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)を\(A_{n}=\left[-1,\left(-\frac{1}{2}\right)^{n}\right]\)とする。
\begin{align*} \limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n} & =\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}A_{k}\\ & =\bigcap_{n=1}^{\infty}\left(\bigcup_{k=n}^{\infty}A_{2k-1}\cup\bigcup_{k=n}^{\infty}A_{2k}\right)\\ & =\bigcap_{n=1}^{\infty}\left(\bigcup_{k=n}^{\infty}\left[-1,\left(-\frac{1}{2}\right)^{2k-1}\right]\cup\bigcup_{k=n}^{\infty}\left[-1,\left(-\frac{1}{2}\right)^{2k}\right]\right)\\ & =\bigcap_{n=1}^{\infty}\left(\bigcup_{k=n}^{\infty}\left[-1,-\frac{2}{4^{k}}\right]\cup\bigcup_{k=n}^{\infty}\left[-1,\frac{1}{4^{k}}\right]\right)\\ & =\bigcap_{n=1}^{\infty}\left(\left[-1,0\right)\cup\left[-1,\frac{1}{4^{n}}\right]\right)\\ & =\bigcap_{n=1}^{\infty}\left[-1,\frac{1}{4^{n}}\right]\\ & =\left[-1,0\right] \end{align*} \begin{align*} \liminf_{n\rightarrow\infty}A_{n} & =\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k=n}^{\infty}A_{k}\\ & =\bigcup_{n=1}^{\infty}\left(\bigcap_{k=n}^{\infty}A_{2k-1}\cap\bigcap_{k=n}^{\infty}A_{2k}\right)\\ & =\bigcup_{n=1}^{\infty}\left(\bigcap_{k=n}^{\infty}\left[-1,\left(-\frac{1}{2}\right)^{2k-1}\right]\cap\bigcap_{k=n}^{\infty}\left[-1,\left(-\frac{1}{2}\right)^{2k}\right]\right)\\ & =\bigcup_{n=1}^{\infty}\left(\bigcap_{k=n}^{\infty}\left[-1,-\frac{2}{4^{k}}\right]\cap\bigcap_{k=n}^{\infty}\left[-1,\frac{1}{4^{k}}\right]\right)\\ & =\bigcup_{n=1}^{\infty}\left(\left[-1,\frac{2}{4^{n}}\right]\cap\left[-1,0\right]\right)\\ & =\bigcup_{n=1}^{\infty}\left[-1,0\right]\\ & =\left[-1,0\right] \end{align*} \(\limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n}=\liminf_{n\rightarrow\infty}A_{n}=\left[-1,0\right]\)なので上限集合が存在し\(\lim_{n\rightarrow\infty}A_{n}=\left[-1,0\right]\)となる。

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タイトル	上極限集合と下極限集合の定義
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