上極限集合の和集合と下極限集合の積集合
上極限集合の和集合と下極限集合の積集合について次が成り立つ。
上極限集合の和集合と下極限集合の積集合について次が成り立つ。
(1)
\[ \limsup_{n\rightarrow\infty}\left(A_{n}\cup B_{n}\right)=\limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n}\cup\limsup_{n\rightarrow\infty}B_{n} \](2)
\[ \liminf_{n\rightarrow\infty}\left(A_{n}\cap B_{n}\right)=\liminf_{n\rightarrow\infty}A_{n}\cap\liminf_{n\rightarrow\infty}B_{n} \]次の2式は等号が一般的に成り立たない。
\[ \limsup_{n\rightarrow\infty}\left(A_{n}\cap B_{n}\right)\ne\limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n}\cap\limsup_{n\rightarrow\infty}B_{n} \] \[ \liminf_{n\rightarrow\infty}\left(A_{n}\cup B_{n}\right)\ne\liminf_{n\rightarrow\infty}A_{n}\cup\liminf_{n\rightarrow\infty}B_{n} \] 反例で示す。
\(X\ne\emptyset\)として、
\[ A_{n}=\begin{cases} \emptyset & n=2,4,6,\cdots\\ X & n=1,3,5,\cdots \end{cases} \] \[ B_{n}=\begin{cases} \emptyset & n=1,3,5,\cdots\\ X & n=2,4,6,\cdots \end{cases} \] とすると、
\begin{align*} \limsup_{n\rightarrow\infty}\left(A_{n}\cap B_{n}\right) & =\limsup_{n\rightarrow\infty}\left(\emptyset\right)\\ & =\emptyset \end{align*} \begin{align*} \limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n}\cap\limsup_{n\rightarrow\infty}B_{n} & =X\cap X\\ & =X \end{align*} となるので、一般的に
\[ \limsup_{n\rightarrow\infty}\left(A_{n}\cap B_{n}\right)\ne\limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n}\cap\limsup_{n\rightarrow\infty}B_{n} \] となる。
また、
\begin{align*} \liminf_{n\rightarrow\infty}\left(A_{n}\cup B_{n}\right) & =\liminf_{n\rightarrow\infty}\left(X\right)\\ & =X \end{align*} \begin{align*} \liminf_{n\rightarrow\infty}A_{n}\cup\liminf_{n\rightarrow\infty}B_{n} & =\emptyset\cup\emptyset\\ & =\emptyset \end{align*} となるので、一般的に
\[ \liminf_{n\rightarrow\infty}\left(A_{n}\cup B_{n}\right)\ne\liminf_{n\rightarrow\infty}A_{n}\cup\liminf_{n\rightarrow\infty}B_{n} \] となる。
\[ \limsup_{n\rightarrow\infty}\left(A_{n}\cap B_{n}\right)\ne\limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n}\cap\limsup_{n\rightarrow\infty}B_{n} \] \[ \liminf_{n\rightarrow\infty}\left(A_{n}\cup B_{n}\right)\ne\liminf_{n\rightarrow\infty}A_{n}\cup\liminf_{n\rightarrow\infty}B_{n} \] 反例で示す。
\(X\ne\emptyset\)として、
\[ A_{n}=\begin{cases} \emptyset & n=2,4,6,\cdots\\ X & n=1,3,5,\cdots \end{cases} \] \[ B_{n}=\begin{cases} \emptyset & n=1,3,5,\cdots\\ X & n=2,4,6,\cdots \end{cases} \] とすると、
\begin{align*} \limsup_{n\rightarrow\infty}\left(A_{n}\cap B_{n}\right) & =\limsup_{n\rightarrow\infty}\left(\emptyset\right)\\ & =\emptyset \end{align*} \begin{align*} \limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n}\cap\limsup_{n\rightarrow\infty}B_{n} & =X\cap X\\ & =X \end{align*} となるので、一般的に
\[ \limsup_{n\rightarrow\infty}\left(A_{n}\cap B_{n}\right)\ne\limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n}\cap\limsup_{n\rightarrow\infty}B_{n} \] となる。
また、
\begin{align*} \liminf_{n\rightarrow\infty}\left(A_{n}\cup B_{n}\right) & =\liminf_{n\rightarrow\infty}\left(X\right)\\ & =X \end{align*} \begin{align*} \liminf_{n\rightarrow\infty}A_{n}\cup\liminf_{n\rightarrow\infty}B_{n} & =\emptyset\cup\emptyset\\ & =\emptyset \end{align*} となるので、一般的に
\[ \liminf_{n\rightarrow\infty}\left(A_{n}\cup B_{n}\right)\ne\liminf_{n\rightarrow\infty}A_{n}\cup\liminf_{n\rightarrow\infty}B_{n} \] となる。
(1)
\(\bigcup_{k=n}^{\infty}A_{k}\)は\(n\)について単調減少、すなわち\(\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}\supseteq\bigcup_{k=2}^{\infty}A_{k}\supseteq\cdots\)となる。同様に\(\bigcup_{k=n}^{\infty}B_{k}\)は\(n\)について単調減少、すなわち\(\bigcup_{k=1}^{\infty}B_{k}\supseteq\bigcup_{k=2}^{\infty}B_{k}\supseteq\cdots\)となる。
これより、
\begin{align*} \limsup_{n\rightarrow\infty}\left(A_{n}\cup B_{n}\right) & =\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}\left(A_{k}\cup B_{k}\right)\\ & =\bigcap_{n=1}^{\infty}\left(\bigcup_{k=n}^{\infty}A_{k}\cup\bigcup_{k=n}^{\infty}B_{k}\right)\\ & =\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}A_{k}\cup\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}B_{k}\cmt{\because\text{単調減少列・単調増加列の和集合の積集合}}\\ & =\limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n}\cup\limsup_{n\rightarrow\infty}B_{n} \end{align*} となる。
(2)
\(\bigcap_{k=n}^{\infty}A_{k}\)は\(n\)について単調増加、すなわち\(\bigcap_{k=1}^{\infty}A_{k}\subseteq\bigcap_{k=2}^{\infty}A_{k}\subseteq\cdots\)となる。同様に\(\bigcap_{k=n}^{\infty}B_{k}\)は\(n\)について単調増加、すなわち\(\bigcap_{k=1}^{\infty}B_{k}\subseteq\bigcap_{k=2}^{\infty}B_{k}\subseteq\cdots\)となる。
これより、
\begin{align*} \liminf_{n\rightarrow\infty}\left(A_{n}\cap B_{n}\right) & =\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k=n}^{\infty}\left(A_{k}\cap B_{k}\right)\\ & =\bigcup_{n=1}^{\infty}\left(\bigcap_{k=n}^{\infty}A_{k}\cap\bigcap_{k=n}^{\infty}B_{k}\right)\\ & =\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k=n}^{\infty}A_{k}\cap\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k=n}^{\infty}B_{k}\cmt{\because\text{単調減少列・単調増加列の積集合の和集合}}\\ & =\liminf_{n\rightarrow\infty}A_{n}\cap\liminf_{n\rightarrow\infty}B_{n} \end{align*} となる。
ページ情報
| タイトル | 上極限集合の和集合と下極限集合の積集合 |
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像・逆像と下極限・上極限・極限の関係
\[
\liminf_{n\rightarrow\infty}f\left(A_{n}\right)\supseteq f\left(\liminf_{n\rightarrow\infty}A_{n}\right)
\]
集合列と像・逆像の極限と存在性
極限$\lim_{n\rightarrow\infty}A_{n}$が存在しても像の極限$\lim_{n\rightarrow\infty}f\left(A_{n}\right)$が存在するとは限らない。
上極限集合と下極限集合の包含関係
\[
\liminf_{n\rightarrow\infty}A_{n}\subseteq\limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n}
\]
単調増加列・単調減少列の極限集合
\[
A_{n}\nearrow_{n\in\mathbb{N}}\Rightarrow\lim_{n\rightarrow\infty}A_{n}=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_{n}
\]