上極限集合・下極限集合・極限集合の補集合
集合列\(\left(A_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)が与えられているとする。
集合列\(\left(A_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)が与えられているとする。
(1)上極限集合の補集合
\[ \left(\limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n}\right)^{c}=\liminf_{n\rightarrow\infty}A_{n}^{c} \](2)下極限集合の補集合
\[ \left(\liminf_{n\rightarrow\infty}A_{n}\right)^{c}=\limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n}^{c} \](3)極限集合の補集合
\begin{align*} \left(\lim_{n\rightarrow\infty}A_{n}\right)^{c} & =\left(\limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n}\right)^{c}\\ & =\liminf_{n\rightarrow\infty}A_{n}^{c}\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}A_{n}^{c} \end{align*}(1)
\begin{align*} \left(\limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n}\right)^{c} & =\left(\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}A_{k}\right)^{c}\\ & =\bigcup_{n=1}^{\infty}\left(\bigcup_{k=n}^{\infty}A_{k}\right)^{c}\\ & =\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k=n}^{\infty}A_{k}^{c}\\ & =\liminf_{n\rightarrow\infty}A_{n}^{c} \end{align*}(2)
(1)より、\begin{align*} \left(\liminf_{n\rightarrow\infty}A_{n}\right)^{c} & =\left(\liminf_{n\rightarrow\infty}\left(A_{n}^{\;c}\right)^{c}\right)^{c}\\ & =\left(\limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n}^{c}\right)^{cc}\\ & =\limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n}^{c} \end{align*}
(2)-2
\begin{align*} \left(\liminf_{n\rightarrow\infty}A_{n}\right)^{c} & =\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k=n}^{\infty}A_{k}\right)^{c}\\ & =\bigcap_{n=1}^{\infty}\left(\bigcap_{k=n}^{\infty}A_{k}\right)^{c}\\ & =\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}A_{k}^{c}\\ & =\limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n}^{c} \end{align*}(3)
極限集合が存在するとき、\(\lim_{n\rightarrow\infty}A_{n}=\limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n}=\liminf_{n\rightarrow\infty}A_{n}\)なので、\begin{align*} \left(\lim_{n\rightarrow\infty}A_{n}\right)^{c} & =\left(\limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n}\right)^{c}\\ & =\liminf_{n\rightarrow\infty}A_{n}^{c}\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}A_{n}^{c} \end{align*} となる。
ページ情報
| タイトル | 上極限集合・下極限集合・極限集合の補集合 |
| URL | https://www.nomuramath.com/fdlmpglh/ |
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像・逆像と下極限・上極限・極限の関係
\[
\liminf_{n\rightarrow\infty}f\left(A_{n}\right)\supseteq f\left(\liminf_{n\rightarrow\infty}A_{n}\right)
\]
集合列と像・逆像の極限と存在性
極限$\lim_{n\rightarrow\infty}A_{n}$が存在しても像の極限$\lim_{n\rightarrow\infty}f\left(A_{n}\right)$が存在するとは限らない。
上極限集合の和集合と下極限集合の積集合
\[
\limsup_{n\rightarrow\infty}\left(A_{n}\cup B_{n}\right)=\limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n}\cup\limsup_{n\rightarrow\infty}B_{n}
\]
上極限集合と下極限集合の包含関係
\[
\liminf_{n\rightarrow\infty}A_{n}\subseteq\limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n}
\]