1次関係と1次独立と1次従属の定義
1次関係と1次独立と1次従属の定義
体\(K\)上のベクトル空間\(V\)があるとき、\(\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2},\cdots,\boldsymbol{x}_{n}\in V\)があり、\(c_{1},c_{2},\cdots,c_{n}\in K\)として
\[ \sum_{k=1}^{n}c_{k}\boldsymbol{x}_{k}=\boldsymbol{0} \] を\(\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2},\cdots,\boldsymbol{x}_{n}\)の1次関係といい、1次関係について、
\[ \sum_{k=1}^{n}c_{k}\boldsymbol{x}_{k}=\boldsymbol{0}\Rightarrow c_{1}=c_{2}=\cdots=c_{n}=0 \] が成り立つとき、\(\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2},\cdots,\boldsymbol{x}_{n}\)は1次独立または線形独立という。
これが成り立たないとき、すなわち、
\[ \sum_{k=1}^{n}c_{k}\boldsymbol{x}_{k}=\boldsymbol{0}\land\left(\exists m\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} ,c_{m}\ne0\right) \] となるとき、\(\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2},\cdots,\boldsymbol{x}_{n}\)は1次従属または線形従属という。
\(c_{m}\ne0\)のとき、\(\boldsymbol{x}_{m}\)は\(\boldsymbol{x}_{m}\)以外の\(\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2},\cdots,\boldsymbol{x}_{m-1},\boldsymbol{x}_{m+1},\cdots,\boldsymbol{x}_{n}\)の線形結合で表すことができる。
体\(K\)上のベクトル空間\(V\)があるとき、\(\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2},\cdots,\boldsymbol{x}_{n}\in V\)があり、\(c_{1},c_{2},\cdots,c_{n}\in K\)として
\[ \sum_{k=1}^{n}c_{k}\boldsymbol{x}_{k}=\boldsymbol{0} \] を\(\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2},\cdots,\boldsymbol{x}_{n}\)の1次関係といい、1次関係について、
\[ \sum_{k=1}^{n}c_{k}\boldsymbol{x}_{k}=\boldsymbol{0}\Rightarrow c_{1}=c_{2}=\cdots=c_{n}=0 \] が成り立つとき、\(\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2},\cdots,\boldsymbol{x}_{n}\)は1次独立または線形独立という。
これが成り立たないとき、すなわち、
\[ \sum_{k=1}^{n}c_{k}\boldsymbol{x}_{k}=\boldsymbol{0}\land\left(\exists m\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} ,c_{m}\ne0\right) \] となるとき、\(\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2},\cdots,\boldsymbol{x}_{n}\)は1次従属または線形従属という。
\(c_{m}\ne0\)のとき、\(\boldsymbol{x}_{m}\)は\(\boldsymbol{x}_{m}\)以外の\(\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2},\cdots,\boldsymbol{x}_{m-1},\boldsymbol{x}_{m+1},\cdots,\boldsymbol{x}_{n}\)の線形結合で表すことができる。
\(\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2},\cdots,\boldsymbol{x}_{n}\)にある\(k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} \)が存在し\(\boldsymbol{x}_{k}=\boldsymbol{0}\)であるとき、\(c_{k}\ne0\)で\(j\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} /\left\{ k\right\} ,c_{j}=0\)にしても、\(\sum_{k=1}^{n}c_{k}\boldsymbol{x}_{k}=\boldsymbol{0}\)が成り立つので\(\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2},\cdots,\boldsymbol{x}_{n}\)は1次従属となる。
\(\mathbb{R}\)上のベクトル\(\mathbb{R}^{2}=\left\{ \left(x,y\right);x,y\in\mathbb{R}\right\} \)で通常のベクトルの演算としたベクトル空間を考える。
\(\left(1,0\right),\left(0,1\right)\)は1次独立
\(\left(1,0\right),\left(1,1\right)\)は1次独立
\(\left(1,0\right),\left(2,0\right)\)は1次従属
\(\left(1,0\right),\left(0,1\right),\left(1,1\right)\)は1次従属
\(\left(0,0\right),\left(1,0\right)\)は1次従属
\(\left(1,0\right),\left(0,1\right)\)は1次独立
\(\left(1,0\right),\left(1,1\right)\)は1次独立
\(\left(1,0\right),\left(2,0\right)\)は1次従属
\(\left(1,0\right),\left(0,1\right),\left(1,1\right)\)は1次従属
\(\left(0,0\right),\left(1,0\right)\)は1次従属
ページ情報
| タイトル | 1次関係と1次独立と1次従属の定義 |
| URL | https://www.nomuramath.com/igw1d8cs/ |
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和空間・積集合の次元
\[
\dim W_{1}+\dim W_{2}=\dim\left(W_{1}+W_{2}\right)+\dim\left(W_{1}\cap W_{2}\right)
\]
ベクトル空間の次元の定義
ベクトルの基底と成分の変換
\[
\left(\boldsymbol{y}_{1},\boldsymbol{y}_{2},\cdots,\boldsymbol{y}_{n}\right)=\left(\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2},\cdots,\boldsymbol{x}_{n}\right)P
\]
ベクトルの基底に関する成分
\[
\boldsymbol{v}=\left(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{n}\right)\left(\begin{array}{c}
a_{1}\\
a_{2}\\
\vdots\\
a_{n}
\end{array}\right)
\]