1次独立であることと同値な条件

\(\Rightarrow\)

\(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n+1}\)が1次独立であるならば、\(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\)が1次独立となることを対偶で示す。
\(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\)が1次独立でないとき、
\[ \sum_{k=1}^{n}c_{k}\boldsymbol{a}_{k}=\boldsymbol{0} \] を満たす\(c_{1},c_{2},\cdots,c_{n}\)は\(c_{1}=c_{2}=\cdots=c_{n+1}=0\)以外で存在する。
このとき、
\[ \sum_{k=1}^{n+1}c_{k}\boldsymbol{a}_{k}=\boldsymbol{0} \] を満たす\(c_{1},c_{2},\cdots,c_{n+1}\)は\(c_{n+1}=0\)とすると、
\[ \sum_{k=1}^{n}c_{k}\boldsymbol{a}_{k}=\boldsymbol{0} \] となり、これを満たす\(c_{1},c_{2},\cdots,c_{n}\)は\(c_{1}=c_{2}=\cdots=c_{n+1}=0\)以外で存在するので、\(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n+1}\)は1次独立ではない。
これより、\(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\)が1次独立でないならば\(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n+1}\)は1次独立ではないことを示したので、対偶をとると、\(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n+1}\)が1次独立であるとき、\(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\)は1次独立となる。
次に\(a_{n+1}\in\left\langle \boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\right\rangle \)であると仮定する。
そうすると、
\[ \boldsymbol{a}_{n+1}=\sum_{k=1}^{n}c_{k}\boldsymbol{a}_{k} \] となり、移項すると、
\[ \boldsymbol{0}=\left(\sum_{k=1}^{n}c_{k}\boldsymbol{a}_{k}\right)-1\cdot\boldsymbol{a}_{n+1} \] となる。
これは、\(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n+1}\)が1次独立であることに矛盾する。
従って、背理法より、\(a_{n+1}\notin\left\langle \boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\right\rangle \)となる。
故に\(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\)が1次独立であり、\(a_{n+1}\notin\left\langle \boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\right\rangle \)となる。

\(\Leftarrow\)

\(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n+1}\)の線形結合で
\[ \sum_{k=1}^{n+1}c_{k}\boldsymbol{a}_{k}=\boldsymbol{0} \] で\(c_{n+1}\ne0\)と仮定する。
そうすると、
\begin{align*} \boldsymbol{a}_{n+1} & =\frac{1}{c_{n+1}}\sum_{k=1}^{n}c_{k}\boldsymbol{a}_{k}\\ & =\sum_{k=1}^{n}\frac{c_{k}}{c_{n+1}}\boldsymbol{a}_{k}\\ & \in\left\langle \boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\right\rangle \end{align*} となり、条件に矛盾。
従って背理法より、\(c_{n+1}=0\)となる。
このとき、
\begin{align*} \boldsymbol{0} & =\sum_{k=1}^{n+1}c_{k}\boldsymbol{a}_{k}\\ & =\sum_{k=1}^{n}c_{k}\boldsymbol{a}_{k}+c_{n+1}\boldsymbol{a}_{k+1}\\ & =\sum_{k=1}^{n}c_{k}\boldsymbol{a}_{k} \end{align*} となり、条件より\(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\)が1次独立なので、\(c_{1}=c_{2}=\cdots=c_{n}=0\)となる。
これより、\(c_{n+1}=0\)も合わせて、\(c_{1}=c_{2}=\cdots=c_{n}=c_{n+1}=0\)となり、\(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n+1}\)は1次独立となる。
従って\(\Leftarrow\)が成り立つ。

\(\Leftrightarrow\)

これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。