ガンマ関数 2021年2月11日 階乗と階乗の逆数の母関数 \[ \frac{x^{a}}{a!}=e^{x}\left(\frac{\Gamma\left(a+1,x\right)}{\Gamma\left(a+1\right)}-\frac{\Gamma\left(a,x\right)}{\Gamma\left(a\right)}\right) \]
ガンマ関数 2021年2月3日 1次式の総乗と階乗 \[ \prod_{k=a}^{b}\left(kn+r\right)=n^{b-a+1}\frac{\left(b+\frac{r}{n}\right)!}{\Gamma\left(a+\frac{r}{n}\right)} \]
ガンマ関数 2020年12月7日 ガンマ関数の対数とリーマン・ゼータ関数 \[ \log\Gamma\left(x+1\right)=-\gamma x+\sum_{k=2}^{\infty}\frac{(-1)^{k}\zeta\left(k\right)}{k}x^{k} \]
ガンマ関数 2020年10月1日 偶数と奇数の2重階乗 \[ \left(2n+1\right)!!=2^{n+1}\frac{\left(n+\frac{1}{2}\right)!}{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)} \]
ガンマ関数 2020年9月20日 ガウスの乗法公式 \[ \Gamma(nz)=\frac{n^{nz-\frac{1}{2}}}{\left(2\pi\right)^{\frac{n-1}{2}}}\prod_{k=0}^{n-1}\Gamma\left(z+\frac{k}{n}\right) \]
ガンマ関数 2020年9月19日 ガンマ関数のルジャンドル倍数公式 \[ \Gamma(2z)=\frac{2^{2z-1}}{\sqrt{\pi}}\Gamma(z)\Gamma\left(z+\frac{1}{2}\right) \]
ガンマ関数 2020年6月28日 ガンマ関数の半整数値 \[ \Gamma\left(\frac{1}{2}+n\right)=\frac{(2n-1)!}{2^{2n-1}(n-1)!}\sqrt{\pi} \]