自明な同値関係と相等関係

(1)自明な同値関係

集合\(X\)があり、任意の\(x,y\in X\)に対し、同値\(x\sim y\)であるとき、すなわち\(\forall x,y\in X,x\sim y\)のとき\(\sim\)は\(X\)上の同値関係となる。
この同値関係は\(A/\sim=\left\{ A\right\} \)となる。
これを自明な同値関係という。

(2)相等関係

集合\(X\)があり、任意の\(x,y\in X\)に対し、\(x=y\rightarrow x\sim y\)であるとき、すなわち\(\forall x,y\in X,x=y\rightarrow x\sim y\)のとき、\(\sim\)は\(X\)上の同値関係となる。
この同値関係は\(\left(A/=\right)=\left\{ \left\{ a\right\} ;a\in A\right\} \)となり、\(A\)とは異なる集合であるが\(A\)と同じ集合とみても問題がない。
これを相等関係という。