全称命題と存在命題との論理的関係
全称命題と存在命題は次の論理的関係を満たす。
全称命題と存在命題は次の論理的関係を満たす。
(1)
\[ \exists x\in X,P\left(x\right)\Leftrightarrow\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\land\left(X\ne\emptyset\right) \](2)
\[ \forall x\in X,P\left(x\right)\Leftrightarrow\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\lor\left(X=\emptyset\right) \](3)
\[ \exists x\in X,P\left(x\right)\Leftarrow\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\land\left(X\ne\emptyset\right) \](4)
\[ \forall x\in X,P\left(x\right)\Rightarrow\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\lor\left(X=\emptyset\right) \](1)
\begin{align*} \exists x\in X,P\left(x\right) & \Leftrightarrow\exists x\in X,P\left(x\right)\land\left(X=\emptyset\lor X\ne\emptyset\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\land\left(X=\emptyset\right)\right)\lor\left(\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\land\left(X\ne\emptyset\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\bot\lor\left(\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\land\left(X\ne\emptyset\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\land\left(X\ne\emptyset\right) \end{align*}(2)
\begin{align*} \forall x\in X,P\left(x\right) & \Leftrightarrow\forall x\in X,P\left(x\right)\land\left(X=\emptyset\lor X\ne\emptyset\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\land\left(X=\emptyset\right)\right)\lor\left(\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\land\left(X\ne\emptyset\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\top\land\left(X=\emptyset\right)\right)\lor\left(\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\land\left(X\ne\emptyset\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\left(X=\emptyset\right)\lor\left(\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\land\left(X\ne\emptyset\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\left(X=\emptyset\right)\lor\left(\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\land\lnot\left(X=\emptyset\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\left(X=\emptyset\right)\lor\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\lor\left(X=\emptyset\right) \end{align*}(2)-2
\begin{align*} \forall x\in X,P\left(x\right) & \Leftrightarrow\lnot\left(\exists x\in X,\lnot P\left(x\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(\left(\exists x\in X,\lnot P\left(x\right)\right)\land\left(X\ne\emptyset\right)\right)\cmt{\because\exists x\in X,P\left(x\right)\Leftrightarrow\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\land\left(X\ne\emptyset\right)}\\ & \Leftrightarrow\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\lor\left(X=\emptyset\right) \end{align*}(3)
\begin{align*} \exists x\in X,P\left(x\right) & \Leftrightarrow\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\land\left(\left(X=\emptyset\right)\lor\left(X\ne\emptyset\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\land\left(X=\emptyset\right)\right)\lor\left(\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\land\left(X\ne\emptyset\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\bot\lor\left(\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\land\left(X\ne\emptyset\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\land X\ne\emptyset\\ & \Leftarrow\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\land X\ne\emptyset \end{align*}(3)-2
(1)より、\begin{align*} \exists x\in X,P\left(x\right) & \Leftrightarrow\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\land X\ne\emptyset\\ & \Leftarrow\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\land X\ne\emptyset \end{align*} となる。
従って題意は成り立つ。
(4)
\begin{align*} \forall x\in X,P\left(x\right) & \Leftrightarrow\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\land\left(X=\emptyset\lor X\ne\emptyset\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\land X=\emptyset\right)\lor\left(\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\land X\ne\emptyset\right)\\ & \Leftrightarrow\left(X=\emptyset\right)\lor\left(\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\land X\ne\emptyset\right)\\ & \Rightarrow\left(X=\emptyset\right)\lor\left(\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\land X\ne\emptyset\right)\\ & \Leftrightarrow\left(X=\emptyset\right)\lor\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\lor\left(X=\emptyset\right) \end{align*}(4)-2
(3)より、\begin{align*} \top & \Leftrightarrow\exists x\in X,P\left(x\right)\leftarrow\left(\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\land\left(X\ne\emptyset\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\lor\left(X=\emptyset\right)\right)\leftarrow\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\cmt{\because\left(A\land C\right)\rightarrow B\Leftrightarrow A\rightarrow\left(B\lor\lnot C\right)}\\ & \Leftrightarrow\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\rightarrow\left(\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\lor\left(X=\emptyset\right)\right) \end{align*} となる。
従って題意は成り立つ。
ページ情報
| タイトル | 全称命題と存在命題との論理的関係 |
| URL | https://www.nomuramath.com/q0j30bml/ |
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転換法
量化子(全称命題・存在命題)の順序変更
\[
\exists x\forall y,P\left(x,y\right)\Rightarrow\forall y\exists x,P\left(x,y\right)
\]
量化子(全称命題・存在命題)と和集合
\[
\forall x\in A\cup B,P\left(x\right)\Leftrightarrow\left(\forall x\in A,P\left(x\right)\right)\land\left(\forall x\in B,P\left(x\right)\right)
\]
量化子(全称命題・存在命題)と空集合と命題変数
\[
\forall x\in\emptyset,P\left(x\right)\Leftrightarrow\top
\]