(1)

全集合\(V\)は全ての集合を含むクラスなので\(X\in V\)となる。
従って題意は成り立つ。

(2)

集合を\(X\)とする。
このとき、\(\psi\left(x\right)\Leftrightarrow x\in X\)としてクラスを\(C_{X}=\left\{ x;x\text{は集合で}x\in X\right\} \)とすると\(C_{X}=\left\{ x;x\in X\right\} =X\)となり、集合\(X\)はクラスとなる。
従って題意は成り立つ。

(3)

真のクラスとなる集合\(X\)が存在すると仮定する。
このとき、\(X\)は真のクラスであるので、任意のクラス\(Y\)について、\(X\notin Y\)となる。
ここで、クラス\(Y\)を
\begin{align*} Y & =\left\{ A;A\text{は集合で}A=X\text{を満たす}\right\} \\ & =\left\{ X\right\} \end{align*} とすると、\(X\in\left\{ X\right\} =Y\)となるが、\(X\notin Y\)なので矛盾。
従って背理法より、真のクラスとなる集合は存在しない。
故に題意は成り立つ。

(4)

順序数は自分より小さい全ての順序数を集めた集合と定義されます。
例えば、
\[ 0=\emptyset \] \[ 1=\left\{ 0\right\} \] \[ 2=\left\{ 0,1\right\} \] \[ \omega=\left\{ 0,1,2,\cdots\right\} \] となってます。
順序数は集合であり、
\[ \mathrm{on}=\left\{ x;x\text{は順序数}\right\} \] と表すことができるので\(\mathrm{on}\)はクラスになります。
ここで\(\mathrm{on}\)が集合であると仮定する。
更に\(\mathrm{on}\)が推移的(\(0\)から隙間なく揃っている)でないと仮定する。
そうすると、ある集合\(x,y\)が存在し、\(y\in\mathrm{on}\)かつ\(x\in y\)であるが\(x\notin\mathrm{on}\)となる。
しかし、\(y\in\mathrm{on}\)であるので、\(y\)は順序数であり、順序数の要素も順序数なので、\(x\in y\)より\(x\)も順序数になり\(x\in\mathrm{on}\)となる。
これより、\(x\notin\mathrm{on}\)かつ\(x\in\mathrm{on}\)となり矛盾。
従って、背理法より\(\mathrm{on}\)は推移的となる。
従って、\(\mathrm{on}\)の元は順序数であり、\(\mathrm{on}\)は推移的かつ\(\in\)によって整列されている。
これより、\(\mathrm{on}\)自身が順序数となり、\(\mathrm{on}\in\mathrm{on}\)となる。
しかし、順序数での\(\in\)は\(<\)を表しているので、\(\mathrm{on}<\mathrm{on}\)となり、矛盾が生じる。
従って、背理法より、\(\mathrm{on}\)は集合でない。
これより、\(\mathrm{on}\)はクラスであり集合でないので真のクラスになる。
従って題意は成り立つ。

補足

全ての基数(濃度)のクラス\(\left\{ \aleph_{0},\aleph_{1},\cdots,\aleph_{\omega},\aleph_{\omega+1},\cdots\right\} \)も真のクラスになります。

(5)

前件より大域選択公理が成り立つとしているので、大域的なある整列順序が存在し、全宇宙\(V\)の全ての元を順序数を用いて一列に整列させることが可能である。
これより、全宇宙\(V\)と\(\mathrm{on}\)との間で小さいほうから順に1つずつ対応させていくことができる。
ここで\(\mathrm{on}\)の順序数\(\alpha\)以降が残っている状態で全ての\(V\)の元を対応させてしまったと仮定する。
そうすると、\(V\)と順序数\(\alpha\)より小さい順序数とが1対1で対応することになり、順序数\(\alpha\)より小さい順序数の集まりは集合であるので、ZFC公理系の置換公理より、1対1対応する\(V\)も集合となる。
しかし、\(V\)が集合と仮定するとラッセルのパラドックスなどにより矛盾が生じるので、背理法より\(V\)は集合ではなく真のクラスになる。
これより、\(V\)は集合かつ真のクラスになるので矛盾が生じる。
従って、背理法より、\(\mathrm{on}\)の順序数\(\alpha\)以降が残っている状態で全ての\(V\)の元を対応させてしまうことはない。
次に\(V\)の\(x\in V\)が残っている状態で全ての\(\mathrm{on}\)の元を対応させてしまったと仮定する。
そうすると、\(\mathrm{on}\)と\(x\)より小さい\(V\)の集まりが1対1で対応することになる。
また、\(x\)には\(V\)を整列させた順序数が割り当てられているのでその順序数を\(\beta\)とすると、\(x\)より小さい\(V\)の集まりと順序数が\(\beta\)より小さい集まりは1対1対応するが、順序数が\(\beta\)より小さい集まりは集合であるので、ZFC公理系の置換公理より、1対1対応する\(x\)より小さい\(V\)の集まりも集合となる。
従って、\(x\)より小さい\(V\)の集合と1対1対応させることのできる\(\mathrm{on}\)も集合となるが、\(\mathrm{on}\)は真のクラスであり集合ではないので矛盾。
従って、背理法より、\(V\)が残っている状態で全ての\(\mathrm{on}\)の元を対応させてしまうことはない。
これより、\(\mathrm{on}\)を使い切ることも\(V\)を使い切ることもないので、\(\mathrm{on}\)と\(V\)は1対1対応をさせることができる。
従って題意は成り立つ。