写像の基本性質
\(f,g,h\)を写像とする。
\(f,g,h\)を写像とする。
(1)一般に交換法則は成り立たない
\[ f\circ g\ne g\circ f \](2)結合法則
\[ f\circ\left(g\circ h\right)=\left(f\circ g\right)\circ h \] が成り立つ。これより、括弧を省いて\(f\circ g\circ h\)としてよい。(1)
反例で示す。\(f\left(x\right)=2x,g\left(x\right)=x^{2}\)とする。
\[ f\circ g\left(x\right)=f\left(x^{2}\right)=2x^{2} \] \[ g\circ f\left(x\right)=g\left(2x\right)=4x^{2} \] となるので、\(f\circ g\ne g\circ f\)となる。
(2)
\begin{align*} f\circ\left(g\circ h\right)\left(x\right) & =f\left(\left(g\circ h\right)\left(x\right)\right)\\ & =f\left(g\left(h\left(x\right)\right)\right)\\ & =\left(f\circ g\right)\left(h\left(x\right)\right)\\ & =\left(\left(f\circ g\right)\circ h\right)\left(x\right) \end{align*} これより、\(f\circ\left(g\circ h\right)=\left(f\circ g\right)\circ h\)が成り立つ。
ページ情報
| タイトル | 写像の基本性質 |
| URL | https://www.nomuramath.com/j5pc9y2h/ |
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写像と集合の演算
\[
f\left(A_{1}\cup A_{2}\right)=f\left(A_{1}\right)\cup f\left(A_{2}\right)
\]
写像と論理和・論理積
\[
\bigvee_{x\in X}\bigwedge_{\lambda\in\Lambda}x\in A_{\lambda},y=f\left(x\right)\Rightarrow\bigwedge_{\lambda\in\Lambda}\bigvee_{x\in X}x\in A_{\lambda},y=f\left(x\right)
\]
像・逆像と補集合の関係
\[
f^{\bullet}\left(B^{c}\right)=\left(f^{\bullet}\left(B\right)\right)^{c}
\]
逆像の元と像の元
\[
a\in f^{\bullet}\left(B\right)\Leftrightarrow f\left(a\right)\in B
\]