(1)

\(B\)の逆像\(f^{\bullet}\left(B\right)\)は
\[ f^{\bullet}\left(B\right)=\left\{ x\in X;f\left(x\right)\in B\right\} \] である。
これより、\(a\in f^{\bullet}\left(B\right)\)であるとき、\(f\left(a\right)\in B\)であるので、\(\Rightarrow\)が成り立つ。
また、\(f\left(a\right)\in B\)であるとき、\(a\in f^{\bullet}\left(B\right)\)となるので\(\Leftarrow\)が成り立つ。
従って、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。

(1)-2

\(\Rightarrow\)

\begin{align*} a\in f^{\bullet}\left(B\right) & \Rightarrow f\left(a\right)\in ff^{\bullet}\left(B\right)\\ & \Rightarrow f\left(a\right)\in B\cmt{\because ff^{\bullet}\left(B\right)\subseteq B} \end{align*}

\(\Leftarrow\)

\begin{align*} f\left(a\right)\in B & \Rightarrow f^{\bullet}f\left(\left\{ a\right\} \right)\subseteq f^{\bullet}\left(B\right)\\ & \Rightarrow\left\{ a\right\} \subseteq f^{\bullet}\left(B\right)\cmt{\because\left\{ a\right\} \subseteq f^{\bullet}f\left(\left\{ a\right\} \right)}\\ & \Rightarrow a\in f^{\bullet}\left(B\right) \end{align*}

\(\Leftrightarrow\)

これらより\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。

(2)

\(\Rightarrow\)は一般的に成り立たない

反例で示す。
\(X=\left\{ a_{1},a_{2}\right\} ,Y=\left\{ b_{1}\right\} \)として\(f\left(a_{1}\right)=f\left(a_{2}\right)=b_{1}\)とする。
ここで、\(A=\left\{ a_{1}\right\} \)とすると、\(f\left(A\right)=f\left(\left\{ a_{1}\right\} \right)=\left\{ b_{1}\right\} \ni b_{1}\)であるが、\(f^{\bullet}\left(\left\{ b_{1}\right\} \right)=\left\{ a_{1},a_{2}\right\} \nsubseteq\left\{ a_{1}\right\} =A\)となる。
従って\(\Rightarrow\)は一般的に成り立たない。

\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない

反例で示す。
\(X=\left\{ a_{1}\right\} ,Y=\left\{ b_{1},b_{2}\right\} \)として\(f\left(a_{1}\right)=b_{1}\)とする。
ここで、\(A=\left\{ a_{1}\right\} \)とすると、\(f^{\bullet}\left(\left\{ b_{2}\right\} \right)=\emptyset\subseteq\left\{ a_{1}\right\} =A\)であるが、\(b_{2}\notin\left\{ b_{1}\right\} =f\left(\left\{ a_{1}\right\} \right)=f\left(A\right)\)となる。
従って\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない。

-

これらより\(\Rightarrow\)も\(\Leftarrow\)も一般的に成り立たない。