(1)

\begin{align*} y\in f\left(A_{1}\cup A_{2}\right) & \Leftrightarrow\exists x\left\{ \left(x\in A_{1}\cup A_{2}\right)\land\left(y=f\left(x\right)\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\exists x\left\{ \left(x\in A_{1}\lor x\in A_{2}\right)\land\left(y=f\left(x\right)\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\exists x\left\{ \left(\left(x\in A_{1}\right)\land\left(y=f\left(x\right)\right)\right)\lor\left(\left(x\in A_{2}\right)\land\left(y=f\left(x\right)\right)\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\exists x\left(\left(x\in A_{1}\right)\land\left(y=f\left(x\right)\right)\right)\lor\exists x\left(\left(x\in A_{2}\right)\land\left(y=f\left(x\right)\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\left(y\in f\left(A_{1}\right)\right)\lor\left(y\in f\left(A_{2}\right)\right)\\ & \Leftrightarrow y\in\left(f\left(A_{1}\right)\cup f\left(A_{2}\right)\right) \end{align*} となるので与式は成り立つ。

(2)

\begin{align*} y\in f\left(A_{1}\cap A_{2}\right) & \Leftrightarrow\exists x\left\{ \left(x\in A_{1}\cap A_{2}\right)\land\left(y=f\left(x\right)\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\exists x\left\{ \left(x\in A_{1}\land x\in A_{2}\right)\land\left(y=f\left(x\right)\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\exists x\left\{ \left(\left(x\in A_{1}\right)\land\left(y=f\left(x\right)\right)\right)\land\left(\left(x\in A_{2}\right)\land\left(y=f\left(x\right)\right)\right)\right\} \\ & \Rightarrow\exists x\left(\left(x\in A_{1}\right)\land\left(y=f\left(x\right)\right)\right)\land\exists x\left(\left(x\in A_{2}\right)\land\left(y=f\left(x\right)\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\left(y\in f\left(A_{1}\right)\right)\land\left(y\in f\left(A_{2}\right)\right)\\ & \Leftrightarrow y\in\left(f\left(A_{1}\right)\cap f\left(A_{2}\right)\right) \end{align*} となるので与式は成り立つ。
\(\Leftarrow\)は\(f\)が単射のときに成り立つ。

逆は一般的に成り立たない

反例で示す。
\(f\left(A_{1}\cap A_{2}\right)\supseteq\left(f\left(A_{1}\right)\cap f\left(A_{2}\right)\right)\)が成り立たないことを示す。
始域を\(X=\left\{ a_{1},a_{2}\right\} \)、終域を\(Y=\left\{ b_{1}\right\} \)として写像\(f\)を\(f\left(a_{1}\right)=f\left(a_{2}\right)=b_{1}\)とする。
このとき\(X\)の部分集合\(A_{1}=\left\{ a_{1}\right\} ,A_{2}=\left\{ a_{2}\right\} \)をとる。
そうすると、左辺は\(f\left(A_{1}\cap A_{2}\right)=f\left(\emptyset\right)=\emptyset\)となり、右辺は\(f\left(A_{1}\right)\cap f\left(A_{2}\right)=f\left(\left\{ a_{1}\right\} \right)\cap f\left(\left\{ a_{2}\right\} \right)=\left\{ b_{1}\right\} \cap\left\{ b_{1}\right\} =\left\{ b_{1}\right\} \)となるので逆が正しいとすると、\(\emptyset\supseteq\left\{ b_{1}\right\} \)となるがこれは偽である。
故に逆は一般的に成り立たない。

(3)

\begin{align*} y\in f\left(A_{1}\setminus A_{2}\right) & \Leftrightarrow\exists x\left\{ \left(x\in A_{1}\setminus A_{2}\right)\land\left(y=f\left(x\right)\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\exists x\left\{ \left(x\in A_{1}\land x\notin A_{2}\right)\land\left(y=f\left(x\right)\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\exists x\left\{ \left(x\in A_{1}\land\left(y=f\left(x\right)\right)\right)\land\left(x\notin A_{2}\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\exists x\left\{ \left(x\in A_{1}\land\left(y=f\left(x\right)\right)\right)\land\left(x\notin A_{2}\lor\left(y\ne f\left(x\right)\right)\right)\right\} \\ & \Leftarrow\exists x\left(\left(x\in A_{1}\right)\land\left(y=f\left(x\right)\right)\right)\land\forall x\left(\left(x\notin A_{2}\right)\lor\left(y\ne f\left(x\right)\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\exists x\left(\left(x\in A_{1}\right)\land\left(y=f\left(x\right)\right)\right)\land\lnot\left\{ \exists x\left(\left(x\in A_{2}\right)\land\left(y=f\left(x\right)\right)\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left(y\in f\left(A_{1}\right)\right)\land\left(y\notin f\left(A_{2}\right)\right)\\ & \Leftrightarrow y\in f\left(A_{1}\right)\setminus f\left(A_{2}\right) \end{align*} となるので与式は成り立つ。
\(f\)が単射のときは\(\Leftarrow\)が\(\Leftrightarrow\)にできるので逆が成り立つ。

逆は一般的に成り立たない

反例で示す。
\(f\left(A_{1}\setminus A_{2}\right)\subseteq\left(f\left(A_{1}\right)\setminus f\left(A_{2}\right)\right)\)が成り立たないことを示す。
始域を\(X=\left\{ a_{1},a_{2}\right\} \)、終域を\(Y=\left\{ b_{1}\right\} \)として写像\(f\)を\(f\left(a_{1}\right)=f\left(a_{2}\right)=b_{1}\)とする。
このとき\(X\)の部分集合\(A_{1}=\left\{ a_{1}\right\} ,A_{2}=\left\{ a_{2}\right\} \)をとる。
そうすると、左辺は\(f\left(A_{1}\setminus A_{2}\right)=f\left(\left\{ a_{1}\right\} \right)=\left\{ b_{1}\right\} \)となり、右辺は\(f\left(A_{1}\right)\setminus f\left(A_{2}\right)=f\left(\left\{ a_{1}\right\} \right)\setminus f\left(\left\{ a_{2}\right\} \right)=\left\{ b_{1}\right\} \setminus\left\{ b_{1}\right\} =\emptyset\)となるので逆が正しいとすると、\(\left\{ b_{1}\right\} \subseteq\emptyset\)となるがこれは偽である。
故に逆は一般的に成り立たない。

(4)

\begin{align*} f\left(A_{1}\triangle A_{2}\right) & =f\left(\left(A_{1}\setminus A_{2}\right)\cup\left(A_{2}\setminus A_{1}\right)\right)\\ & =f\left(A_{1}\setminus A_{2}\right)\cup f\left(A_{2}\setminus A_{1}\right)\\ & \supseteq\left(f\left(A_{1}\right)\setminus f\left(A_{2}\right)\right)\cup\left(f\left(A_{2}\right)\setminus f\left(A_{1}\right)\right)\\ & =f\left(A_{1}\right)\triangle f\left(A_{2}\right) \end{align*} となるので与式は成り立つ。
\(f\)が単射のときは\(\supseteq\)が\(=\)にできるので逆が成り立つ。

逆は一般的に成り立たない

反例で示す。
\(f\left(A_{1}\triangle A_{2}\right)\subseteq f\left(A_{1}\right)\triangle f\left(A_{2}\right)\)が成り立たないことを示す。
始域を\(X=\left\{ a_{1},a_{2}\right\} \)、終域を\(Y=\left\{ b_{1}\right\} \)として写像\(f\)を\(f\left(a_{1}\right)=f\left(a_{2}\right)=b_{1}\)とする。
このとき\(X\)の部分集合\(A_{1}=\left\{ a_{1}\right\} ,A_{2}=\left\{ a_{2}\right\} \)をとる。
そうすると、左辺は\(f\left(A_{1}\triangle A_{2}\right)=f\left(\left\{ a_{1},a_{2}\right\} \right)=\left\{ b_{1}\right\} \)となり、右辺は\(f\left(A_{1}\right)\triangle f\left(A_{2}\right)=f\left(\left\{ a_{1}\right\} \right)\triangle f\left(\left\{ a_{2}\right\} \right)=\left\{ b_{1}\right\} \triangle\left\{ b_{1}\right\} =\emptyset\)となるので逆が正しいとすると、\(\left\{ b_{1}\right\} \subseteq\emptyset\)となるがこれは偽である。
故に逆は一般的に成り立たない。

(5)

\begin{align*} x\in f^{\bullet}\left(B_{1}\cup B_{2}\right) & \Leftrightarrow f\left(x\right)\in B_{1}\cup B_{2}\\ & \Leftrightarrow\left(f\left(x\right)\in B_{1}\right)\lor\left(f\left(x\right)\in B_{2}\right)\\ & \Leftrightarrow\left(x\in f^{\bullet}\left(B_{1}\right)\right)\lor\left(x\in f^{\bullet}\left(B_{2}\right)\right)\\ & \Leftrightarrow x\in f^{\bullet}\left(B_{1}\right)\cup f^{\bullet}\left(B_{2}\right) \end{align*} となるので与式は成り立つ。

(6)

\begin{align*} x\in f^{\bullet}\left(B_{1}\cap B_{2}\right) & \Leftrightarrow f\left(x\right)\in B_{1}\cap B_{2}\\ & \Leftrightarrow\left(f\left(x\right)\in B_{1}\right)\land\left(f\left(x\right)\in B_{2}\right)\\ & \Leftrightarrow\left(x\in f^{\bullet}\left(B_{1}\right)\right)\land\left(x\in f^{\bullet}\left(B_{2}\right)\right)\\ & \Leftrightarrow x\in f^{\bullet}\left(B_{1}\right)\cap f^{\bullet}\left(B_{2}\right) \end{align*} となるので与式は成り立つ。

(7)

\begin{align*} x\in f^{\bullet}\left(B_{1}\setminus B_{2}\right) & \Leftrightarrow f\left(x\right)\in B_{1}\setminus B_{2}\\ & \Leftrightarrow\left(f\left(x\right)\in B_{1}\right)\land\left(f\left(x\right)\notin B_{2}\right)\\ & \Leftrightarrow\left(x\in f^{\bullet}\left(B_{1}\right)\right)\land\left(x\notin f^{\bullet}\left(B_{2}\right)\right)\\ & \Leftrightarrow x\in f^{\bullet}\left(B_{1}\right)\setminus f^{\bullet}\left(B_{2}\right) \end{align*} となるので与式は成り立つ。

(8)

\begin{align*} x\in f^{\bullet}\left(B_{1}\triangle B_{2}\right) & \Leftrightarrow f\left(x\right)\in B_{1}\triangle B_{2}\\ & \Leftrightarrow f\left(x\right)\in\left(B_{1}\setminus B_{2}\right)\cup\left(B_{2}\setminus B_{1}\right)\\ & \Leftrightarrow\left(f\left(x\right)\in\left(B_{1}\setminus B_{2}\right)\right)\lor\left(f\left(x\right)\in B_{2}\setminus B_{1}\right)\\ & \Leftrightarrow\left(f\left(x\right)\in B_{1}\land f\left(x\right)\notin B_{2}\right)\lor\left(f\left(x\right)\in B_{2}\land f\left(x\right)\notin B_{1}\right)\\ & \Leftrightarrow\left(x\in f^{\bullet}\left(B_{1}\right)\land x\notin f^{\bullet}\left(B_{2}\right)\right)\lor\left(x\in f^{\bullet}\left(B_{2}\right)\land x\notin f^{\bullet}\left(B_{1}\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\left(x\in f^{\bullet}\left(B_{1}\right)\setminus f^{\bullet}\left(B_{2}\right)\right)\lor\left(x\in f^{\bullet}\left(B_{2}\right)\setminus f^{\bullet}\left(B_{1}\right)\right)\\ & \Leftrightarrow x\in f^{\bullet}\left(B_{1}\right)\triangle f^{\bullet}\left(B_{2}\right) \end{align*} となるので与式は成り立つ。

(9)

\begin{align*} f\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right) & =\left\{ y;y\in f\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\right\} \\ & =\left\{ y;\exists x\in\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda},y=f\left(x\right)\right\} \\ & =\left\{ y;\exists\lambda\in\Lambda,\exists x\in A_{\lambda},y=f\left(x\right)\right\} \\ & =\left\{ y;\exists\lambda\in\Lambda,y\in f\left(A_{\lambda}\right)\right\} \\ & =\left\{ y;y\in\bigcup_{\lambda\in\Lambda}f\left(A_{\lambda}\right)\right\} \\ & =\bigcup_{\lambda\in\Lambda}f\left(A_{\lambda}\right) \end{align*} となるので与式は成り立つ。

(10)

\begin{align*} f\left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right) & =\left\{ y;y\in f\left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\right\} \\ & =\left\{ y;\exists x\in\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda},y=f\left(x\right)\right\} \\ & \subseteq\left\{ y;\forall\lambda\in\Lambda,\exists x\in A_{\lambda},y=f\left(x\right)\right\} \\ & =\left\{ y;\forall\lambda\in\Lambda,y\in f\left(A_{\lambda}\right)\right\} \\ & =\left\{ y;y\in\bigcap_{\lambda\in\Lambda}f\left(A_{\lambda}\right)\right\} \\ & =\bigcap_{\lambda\in\Lambda}f\left(A_{\lambda}\right) \end{align*} となるので与式は成り立つ。
また、\(f\)が単射のときは等号となる。

逆は一般的に成り立たない

反例で示す。
始域を\(X=\left\{ a_{1},a_{2}\right\} \)、終域を\(Y=\left\{ b\right\} \)として写像\(f\)を\(f\left(a_{1}\right)=f\left(a_{2}\right)=b\)とする。
\(f\left(\left\{ a_{1}\right\} \cap\left\{ a_{2}\right\} \right)=f\left(\emptyset\right)=\emptyset\)であるが、\(f\left(\left\{ a_{1}\right\} \right)\cap f\left(\left\{ a_{2}\right\} \right)=\left\{ b\right\} \cap\left\{ b\right\} =\left\{ b\right\} \)となるので\(f\left(\left\{ a_{1}\right\} \cap\left\{ a_{2}\right\} \right)\subsetneq f\left(\left\{ a_{1}\right\} \right)\cap f\left(\left\{ a_{2}\right\} \right)\)となる。
故に逆は一般的に成り立たない。

(11)

\begin{align*} f^{\bullet}\left(\bigcup_{\mu\in M}B_{\mu}\right) & =\left\{ x;x\in f^{\bullet}\left(\bigcup_{\mu\in M}B_{\mu}\right)\right\} \\ & =\left\{ x;f\left(x\right)\in\bigcup_{\mu\in M}B_{\mu}\right\} \\ & =\left\{ x;\exists\mu\in M,f\left(x\right)\in B_{\mu}\right\} \\ & =\left\{ x;\exists\mu\in M,x\in f^{\bullet}\left(B_{\mu}\right)\right\} \\ & =\left\{ x;x\in\bigcup_{\mu\in M}f^{\bullet}\left(B_{\mu}\right)\right\} \\ & =\bigcup_{\mu\in M}f^{\bullet}\left(B_{\mu}\right) \end{align*} となるので与式は成り立つ。

(12)

\begin{align*} f^{\bullet}\left(\bigcap_{\mu\in M}B_{\mu}\right) & =\left\{ x;x\in f^{\bullet}\left(\bigcap_{\mu\in M}B_{\mu}\right)\right\} \\ & =\left\{ x;f\left(x\right)\in\bigcap_{\mu\in M}B_{\mu}\right\} \\ & =\left\{ x;\forall\mu\in M,f\left(x\right)\in B_{\mu}\right\} \\ & =\left\{ x;\forall\mu\in M,x\in f^{\bullet}\left(B_{\mu}\right)\right\} \\ & =\left\{ x;x\in\bigcap_{\mu\in M}f^{\bullet}\left(B_{\mu}\right)\right\} \\ & =\bigcap_{\mu\in M}f^{\bullet}\left(B_{\mu}\right) \end{align*} となるので与式は成り立つ。