(1)

\begin{align*} f\left(A^{c}\right) & =f\left(X\setminus A\right)\\ & \supseteq f\left(X\right)\setminus f\left(A\right)\cmt{\because f\left(A_{1}\setminus A_{2}\right)\supseteq f\left(A_{1}\right)\setminus f\left(A_{2}\right)} \end{align*} \(f\)が単射のときは逆も成り立つので、等号となる。
\(f\)が全射のときは\(f\left(X\right)=Y\)となるので\(f\left(A^{c}\right)\supseteq f^{c}\left(A\right)\)となる。
\(f\)が全単射のときは\(f\left(A^{c}\right)=f^{c}\left(A\right)\)となる。

(1)-2

\begin{align*} y\in f\left(A^{c}\right) & \Leftrightarrow\exists x\left\{ x\in A^{c}\land f\left(x\right)=y\right\} \\ & \Leftrightarrow\exists x\left\{ x\in X\land x\notin A\land f\left(x\right)=y\right\} \\ & \Leftrightarrow\exists x\left\{ x\in X\land f\left(x\right)=y\land\left(x\notin A\lor f\left(x\right)\ne y\right)\right\} \\ & \Leftarrow\exists x\left\{ x\in X\land f\left(x\right)=y\right\} \land\forall x\left(x\notin A\lor f\left(x\right)\ne y\right)\\ & \Leftrightarrow\exists x\left\{ x\in X\land f\left(x\right)=y\right\} \land\lnot\exists x\left(x\in A\land f\left(x\right)=y\right)\\ & \Leftrightarrow y\in f\left(X\right)\land\lnot y\in f\left(A\right)\\ & \Leftrightarrow y\in f\left(X\right)\setminus f\left(A\right) \end{align*} これより、\(f\left(A^{c}\right)\supseteq f\left(X\right)\setminus f\left(A\right)\)となる。

(2)

\begin{align*} x\in f^{\bullet}\left(B^{c}\right) & \Leftrightarrow f\left(x\right)\in B^{c}\\ & \Leftrightarrow f\left(x\right)\notin B\\ & \Leftrightarrow x\notin f^{\bullet}\left(B\right)\\ & \Leftrightarrow x\in\left(f^{\bullet}\left(B\right)\right)^{c} \end{align*}

(2)-2

\begin{align*} f^{\bullet}\left(B^{c}\right) & =f^{\bullet}\left(Y\setminus B\right)\\ & =f^{\bullet}\left(Y\right)\setminus f^{\bullet}\left(B\right)\\ & =X\setminus f^{\bullet}\left(B\right)\\ & \left(f^{\bullet}\left(B\right)\right)^{c} \end{align*}