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\(\Rightarrow\)

任意の\(g\left(x,\lambda\right)\)について、\(\exists x\in X,\forall\lambda\in\Lambda,g\left(x,\lambda\right)\Rightarrow\forall\lambda\in\Lambda,\exists x\in X,g\left(x,\lambda\right)\)が成り立つ、すなわち、
\[ \bigvee_{x\in X}\bigwedge_{\lambda\in\Lambda}g\left(x,\lambda\right)\Rightarrow\bigwedge_{\lambda\in\Lambda}\bigvee_{x\in X}g\left(x,\lambda\right) \] が成り立つので\(\Rightarrow\)は成り立つ。

\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない。

反例で示す。
\(X=\left\{ x_{1},x_{2}\right\} ,Y=\left\{ y\right\} \)として写像\(f\)を\(f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)=y\)として\(\Lambda=\left\{ 1,2\right\} ,A_{1}=\left\{ x_{1}\right\} ,A_{2}=\left\{ x_{2}\right\} \)とする。
このとき、左辺は\(\bigvee_{x\in\left\{ x_{1},x_{2}\right\} }\bigwedge_{\lambda\in\left\{ 1,2\right\} }x\in A_{\lambda},y=f\left(x\right)\Leftrightarrow\bigvee_{x\in\left\{ x_{1},x_{2}\right\} }\left(x\in\left\{ x_{1}\right\} ,y=f\left(x\right)\right)\land\left(x\in\left\{ x_{2}\right\} ,y=f\left(x\right)\right)\Leftrightarrow\bot\)となり偽、右辺は\(\bigwedge_{\lambda\in\left\{ 1,2\right\} }\bigvee_{x\in\left\{ x_{1},x_{2}\right\} }x\in A_{\lambda},y=f\left(x\right)\Leftrightarrow\bigwedge_{\lambda\in\left\{ 1,2\right\} }\left(x_{1}\in A_{\lambda},y=f\left(x_{1}\right)\right)\lor\left(x_{2}\in A_{\lambda},y=f\left(x_{2}\right)\right)\Leftrightarrow\top\)となり真となり、全体として偽となるので\(\Leftarrow\)は成り立たない。

単射のとき、

単射のときは任意の\(y\in Y\)に対しある\(x_{y}\in X\)がただ1つ存在し\(y=f\left(x_{y}\right)\)がなりたつので、左辺は\(\bigvee_{x\in X}\bigwedge_{\lambda\in\Lambda}x\in A_{\lambda},y=f\left(x\right)\Leftrightarrow\bigwedge_{\lambda\in\Lambda}x_{y}\in A_{\lambda}\Leftrightarrow x_{y}\in\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\)となり、右辺は\(\bigwedge_{\lambda\in\Lambda}\bigvee_{x\in X}x\in A_{\lambda},y=f\left(x\right)\Leftrightarrow\bigwedge_{\lambda\in\Lambda}x_{y}\in A_{\lambda}\Leftrightarrow x_{y}\in\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\)となるので、左辺と右辺は同値になる。
これより、単射のときは\(\Leftarrow\)も成り立つ。