像と逆像による包含関係と相等関係
写像\(f:X\rightarrow Y\)として、\(A,A_{1},A_{2}\subseteq X;B,B_{1},B_{2}\subseteq Y\)とする。

像による包含関係

(1)重要

\[ A_{1}\subseteq A_{2}\Rightarrow f\left(A_{1}\right)\subseteq f\left(A_{2}\right) \] \(\Leftarrow\)は単射のときに成り立つ。

(2)

\[ A\subseteq f^{\bullet}\left(B\right)\Leftrightarrow f\left(A\right)\subseteq B\cap f\left(X\right) \]

(3)

\[ f^{\bullet}\left(B\right)\subseteq A\Rightarrow B\cap f\left(X\right)\subseteq f\left(A\right) \] \(\Leftarrow\)は単射のときに成り立つ。

(4)

\[ f^{\bullet}\left(B_{1}\right)\subseteq f^{\bullet}\left(B_{2}\right)\Leftrightarrow B_{1}\cap f\left(X\right)\subseteq B_{2}\cap f\left(X\right) \]
像による相等関係

(5)

\[ A_{1}=A_{2}\Rightarrow f\left(A_{1}\right)=f\left(A_{2}\right) \] \(\Leftarrow\)は単射のときに成り立つ。

(6)

\[ A=f^{\bullet}\left(B\right)\Rightarrow f\left(A\right)=B\cap f\left(X\right) \] \(\Leftarrow\)は単射のときに成り立つ。

(7)

\[ f^{\bullet}\left(B_{1}\right)=f^{\bullet}\left(B_{2}\right)\Leftrightarrow B_{1}\cap f\left(X\right)=B_{2}\cap f\left(X\right) \]
逆像による包含関係

(8)重要

\[ B_{1}\subseteq B_{2}\Rightarrow f^{\bullet}\left(B_{1}\right)\subseteq f^{\bullet}\left(B_{2}\right) \] \(\Leftarrow\)は全射のときに成り立つ。

(9)

\[ B\subseteq f\left(A\right)\Rightarrow f^{\bullet}\left(B\right)\subseteq f^{\bullet}f\left(A\right) \] \(\Leftarrow\)は全射のときに成り立つ。

(10)

\[ f\left(A\right)\subseteq B\Leftrightarrow A\subseteq f^{\bullet}\left(B\right) \]

(11)

\[ f\left(A_{1}\right)\subseteq f\left(A_{2}\right)\Leftrightarrow f^{\bullet}f\left(A_{1}\right)\subseteq f^{\bullet}f\left(A_{2}\right) \]
逆像による相等関係

(12)

\[ B_{1}=B_{2}\Rightarrow f^{\bullet}\left(B_{1}\right)=f^{\bullet}\left(B_{2}\right) \] \(\Leftarrow\)は全射のときに成り立つ。

(13)

\[ f\left(A\right)=B\Rightarrow f^{\bullet}f\left(A\right)=f^{\bullet}\left(B\right) \] \(\Leftarrow\)は全射のときに成り立つ。

(14)

\[ f\left(A_{1}\right)=f\left(A_{2}\right)\Leftrightarrow f^{\bullet}f\left(A_{1}\right)=f^{\bullet}f\left(A_{2}\right) \]
その他、像による包含関係

(15)

\[ f\left(A\right)\subseteq B\cap f\left(X\right)\Leftrightarrow f^{\bullet}f\left(A\right)\subseteq f^{\bullet}\left(B\right) \]

(16)

\[ B\cap f\left(X\right)\subseteq f\left(A\right)\Leftrightarrow f^{\bullet}\left(B\right)\subseteq f^{\bullet}f\left(A\right) \]

(17)

\[ B_{1}\cap f\left(X\right)\subseteq B_{2}\cap f\left(X\right)\Leftrightarrow f^{\bullet}\left(B_{1}\right)\subseteq f^{\bullet}\left(B_{2}\right) \]
その他、像による相等関係

(18)

\[ f\left(A\right)=B\cap f\left(X\right)\Leftrightarrow f^{\bullet}f\left(A\right)=f^{\bullet}\left(B\right) \]

(19)

\[ B_{1}\cap f\left(X\right)=B_{2}\cap f\left(X\right)\Leftrightarrow f^{\bullet}\left(B_{1}\right)=f^{\bullet}\left(B_{2}\right) \]
要素に含む場合の写像

(20)

\[ a\in A\Rightarrow f\left(a\right)\in f\left(A\right) \]

要素に含む場合は集合の包含関係で表せばいい。
例えば、
\begin{align*} a\in A & \Leftrightarrow\left\{ a\right\} \subseteq A\\ & \Rightarrow f\left(\left\{ a\right\} \right)\subseteq f\left(A\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ f\left(a\right)\right\} \subseteq f\left(A\right)\\ & \Leftrightarrow f\left(a\right)\in f\left(A\right) \end{align*} \begin{align*} b\in B & \Leftrightarrow\left\{ b\right\} \subseteq B\\ & \Rightarrow f^{\bullet}\left(\left\{ b\right\} \right)\subseteq f^{\bullet}\left(B\right) \end{align*} となる。
\(f^{\bullet}\left(\left\{ b\right\} \right)\subseteq f^{\bullet}\left(B\right)\)は\(f^{\bullet}\left(b\right)\in f^{\bullet}\left(B\right)\)としてしまうと、逆写像が存在しない場合は成り立たないので注意。
\(f^{\bullet}\left(\left\{ b\right\} \right)\subseteq f^{\bullet}\left(B\right)\)は逆像なので逆写像が存在しなくても成り立つ。

-

\(A_{1}\nsubseteq A_{2}\Rightarrow f\left(A_{1}\right)\nsubseteq f\left(A_{2}\right)\)は一般的に成り立たない。
反例としては定値写像\(f\left(X\right)=\left\{ a\right\} \in Y\)を考えればよい。
\(A_{1}\subseteq A_{2}\Rightarrow f\left(A_{1}\right)\subseteq f\left(A_{2}\right)\)が成り立つので対偶をとって\(f\left(A_{1}\right)\nsubseteq f\left(A_{2}\right)\Rightarrow A_{1}\nsubseteq A_{2}\)が成り立つ。

(1)

\(\Rightarrow\)

\begin{align*} A_{1}\subseteq A_{2} & \Leftrightarrow\forall a_{1}\in A_{1},\exists a_{2}\in A_{2},a_{1}=a_{2}\\ & \Rightarrow\forall a_{1}\in A_{1},\exists a_{2}\in A_{2},f\left(a_{1}\right)=f\left(a_{2}\right)\\ & \Leftrightarrow f\left(A_{1}\right)\subseteq f\left(A_{2}\right) \end{align*}

単射ならば\(\Leftarrow\)

単射のとき、\(f\left(a_{1}\right)=f\left(a_{2}\right)\Rightarrow a_{1}=a_{2}\)となるので、\(\Leftarrow\)も成り立つ。
直接証明するには\(f\left(A_{1}\right)\subseteq f\left(A_{2}\right)\Rightarrow f^{\bullet}f\left(A_{1}\right)\subseteq f^{\bullet}f\left(A_{2}\right)\Leftrightarrow A_{1}\subseteq A_{2}\)となるので\(\Leftarrow\)も成り立つ。

\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない

反例で示す。
\(X=\left\{ x_{1},x_{2}\right\} ,Y=\left\{ y\right\} \)として\(f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)=y\)とする。
このとき、\(A_{1}=\left\{ x_{1}\right\} ,A_{2}=\left\{ x_{2}\right\} \)とすると、左辺は\(\left\{ x_{1}\right\} \subseteq\left\{ x_{2}\right\} \)となり偽、右辺は\(f\left(\left\{ x_{1}\right\} \right)\subseteq f\left(\left\{ x_{2}\right\} \right)\Leftrightarrow\left\{ y\right\} \subseteq\left\{ y\right\} \)となり真となり、全体では偽となるので成り立たない。

(1)-2

\(A_{1}\subseteq A_{2}\)なので両辺に\(f\)を作用させると、\(f\left(A_{1}\right)\subseteq f\left(A_{2}\right)\)となるので、\(A_{1}\subseteq A_{2}\Rightarrow f\left(A_{1}\right)\subseteq f\left(A_{2}\right)\)が成り立つ。
また単射ならば、\(f\left(A_{1}\right)\subseteq f\left(A_{2}\right)\Rightarrow f^{\bullet}f\left(A_{1}\right)\subseteq f^{\bullet}f\left(A_{2}\right)\Leftrightarrow A_{1}\subseteq A_{2}\)となるので\(\Leftarrow\)が成り立つ。

(1)-3

\(\Rightarrow\)の証明のみ。
\(A_{1}\subseteq A_{2}\)のとき、
\begin{align*} y\in f\left(A_{1}\right) & \Leftrightarrow\exists x\in A_{1},f\left(x\right)=y\\ & \Rightarrow\exists x\in A_{2},f\left(x\right)=y\\ & \Leftrightarrow y\in f\left(A_{2}\right) \end{align*} となるので\(A_{1}\subseteq A_{2}\Rightarrow f\left(A_{1}\right)\subseteq f\left(A_{2}\right)\)が成り立つ。

(2)

\(\Rightarrow\)

\begin{align*} A\subseteq f^{\bullet}\left(B\right) & \Rightarrow f\left(A\right)\subseteq ff^{\bullet}\left(B\right)\\ & \Leftrightarrow f\left(A\right)\subseteq B\cap f\left(X\right) \end{align*}

\(\Leftarrow\)

\begin{align*} f\left(A\right)\subseteq B\cap f\left(X\right) & \Leftrightarrow f\left(A\right)\subseteq ff^{\bullet}\left(B\right)\\ & \Rightarrow f^{\bullet}f\left(A\right)\subseteq f^{\bullet}ff^{\bullet}\left(B\right)\\ & \Leftrightarrow f^{\bullet}f\left(A\right)\subseteq f^{\bullet}\left(B\right)\\ & \Rightarrow A\subseteq f^{\bullet}\left(B\right) \end{align*}

\(\Leftrightarrow\)

これより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので題意は成り立つ。

(3)

\(\Rightarrow\)

\begin{align*} f^{\bullet}\left(B\right)\subseteq A & \Rightarrow ff^{\bullet}\left(B\right)\subseteq f\left(A\right)\\ & \Leftrightarrow B\cap f\left(X\right)\subseteq f\left(A\right) \end{align*}

単射ならば\(\Leftarrow\)

単射ならば\(f^{\bullet}\left(B\right)\subseteq A\Leftrightarrow ff^{\bullet}\left(B\right)\subseteq f\left(A\right)\)となるので\(\Leftarrow\)が成り立つ。

\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない

反例で示す。
\(X=\left\{ x_{1},x_{2}\right\} ,Y=\left\{ y\right\} \)として\(f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)=y\)とする。
このとき、\(A=\left\{ x_{1}\right\} ,B=\left\{ y\right\} \)とすると、左辺は\(f^{\bullet}\left(\left\{ y\right\} \right)\subseteq\left\{ x_{1}\right\} \Leftrightarrow\left\{ x_{1},x_{2}\right\} \subseteq\left\{ x_{1}\right\} \)で偽、右辺は\(\left\{ y\right\} \cap f\left(\left\{ x_{1},x_{2}\right\} \right)\subseteq f\left(\left\{ x_{1}\right\} \right)\Leftrightarrow\left\{ y\right\} \subseteq\left\{ y\right\} \)で真であるので、全体では偽となるので成り立たない。

(4)

\(\Rightarrow\)

\begin{align*} f^{\bullet}\left(B_{1}\right)\subseteq f^{\bullet}\left(B_{2}\right) & \Rightarrow ff^{\bullet}\left(B_{1}\right)\subseteq ff^{\bullet}\left(B_{2}\right)\\ & \Leftrightarrow B_{1}\cap f\left(X\right)\subseteq B_{2}\cap f\left(X\right) \end{align*}

\(\Leftarrow\)

\begin{align*} B_{1}\cap f\left(X\right)\subseteq B_{2}\cap f\left(X\right) & \Leftrightarrow ff^{\bullet}\left(B_{1}\right)\subseteq ff^{\bullet}\left(B_{2}\right)\\ & \Rightarrow f^{\bullet}ff^{\bullet}\left(B_{1}\right)\subseteq f^{\bullet}ff^{\bullet}\left(B_{2}\right)\\ & \Leftrightarrow f^{\bullet}\left(B_{1}\right)\subseteq f^{\bullet}\left(B_{2}\right) \end{align*}

\(\Leftrightarrow\)

これより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので題意は成り立つ。

(5)

\(\Rightarrow\)

(1)より、
\begin{align*} A_{1}=A_{2} & \Leftrightarrow A_{1}\subseteq A_{2}\land A_{1}\supseteq A_{2}\\ & \Rightarrow f\left(A_{1}\right)\subseteq f\left(A_{2}\right)\land f\left(A_{1}\right)\supseteq f\left(A_{2}\right)\\ & \Leftrightarrow f\left(A_{1}\right)=f\left(A_{2}\right) \end{align*}

単射ならば\(\Leftarrow\)

単射ならば、\(A_{1}\subseteq A_{2}\Leftrightarrow f\left(A_{1}\right)\subseteq f\left(A_{2}\right)\)となるので\(\Leftarrow\)が成り立つ。

\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない。

反例で示す。
\(X=\left\{ x_{1},x_{2}\right\} ,Y=\left\{ y\right\} \)として\(f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)=y\)とする。
このとき、\(A_{1}=\left\{ x_{1}\right\} ,A_{2}=\left\{ x_{2}\right\} \)とすると、左辺は\(\left\{ x_{1}\right\} =\left\{ x_{2}\right\} \)となり偽、右辺は\(f\left(\left\{ x_{1}\right\} \right)=f\left(\left\{ x_{1}\right\} \right)\Leftrightarrow\left\{ y\right\} =\left\{ y\right\} \)と真となり、全体では偽となるので成り立たない。

(6)

\(\Rightarrow\)

(2),(3)より、
\begin{align*} A=f^{\bullet}\left(B\right) & \Leftrightarrow A\subseteq f^{\bullet}\left(B\right)\land A\supseteq f^{\bullet}\left(B\right)\\ & \Rightarrow f\left(A\right)\subseteq B\cap f\left(X\right)\land f\left(A\right)\supseteq B\cap f\left(X\right)\\ & \Leftrightarrow f\left(A\right)=B\cap f\left(X\right) \end{align*}

単射ならば\(\Leftarrow\)

単射ならば\(A\subseteq f^{\bullet}\left(B\right)\Leftrightarrow f\left(A\right)\subseteq ff^{\bullet}\left(B\right)\Leftrightarrow f\left(A\right)\subseteq B\cap f\left(X\right)\)と、同様に\(A\supseteq f^{\bullet}\left(B\right)\Leftrightarrow f\left(A\right)\supseteq B\cap f\left(X\right)\)となるので\(\Leftarrow\)が成り立つ。

\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない。

反例で示す。
\(X=\left\{ x_{1},x_{2}\right\} ,Y=\left\{ y\right\} \)として\(f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)=y\)とする。
このとき、\(A=\left\{ x_{1}\right\} ,B=\left\{ y\right\} \)とすると、左辺は\(\left\{ x_{1}\right\} =f^{\bullet}\left(\left\{ y\right\} \right)\Leftrightarrow\left\{ x_{1}\right\} =\left\{ x_{1},x_{2}\right\} \)となり偽、右辺は\(f\left(\left\{ x_{1}\right\} \right)=\left\{ y\right\} \cap f\left(\left\{ x_{1},x_{2}\right\} \right)\Leftrightarrow\left\{ y\right\} =\left\{ y\right\} \)となり真となり、全体では偽となるので成り立たない。

(7)

(4)より、
\begin{align*} f^{\bullet}\left(B_{1}\right)=f^{\bullet}\left(B_{2}\right) & \Leftrightarrow f^{\bullet}\left(B_{1}\right)\subseteq f^{\bullet}\left(B_{2}\right)\land f^{\bullet}\left(B_{1}\right)\supseteq f^{\bullet}\left(B_{2}\right)\\ & \Leftrightarrow B_{1}\cap f\left(X\right)\subseteq B_{2}\cap f\left(X\right)\land B_{1}\cap f\left(X\right)\supseteq B_{2}\cap f\left(X\right)\\ & \Leftrightarrow B_{1}\cap f\left(X\right)=B_{2}\cap f\left(X\right) \end{align*}

(8)

\(\Rightarrow\)

\begin{align*} B_{1}\subseteq B_{2} & \Leftrightarrow\forall b_{1}\in B_{1}\exists b_{2}\in B_{2},b_{1}=b_{2}\\ & \Rightarrow\forall b_{1}\in B_{1}\exists b_{2}\in B_{2},f^{\bullet}\left(\left\{ b_{1}\right\} \right)=f^{\bullet}\left(\left\{ b_{2}\right\} \right)\\ & \Leftrightarrow f^{\bullet}\left(B_{1}\right)\subseteq f^{\bullet}\left(B_{2}\right) \end{align*}

全射ならば\(\Leftarrow\)

全射ならば、\(f^{\bullet}\left(\left\{ b_{1}\right\} \right)=f^{\bullet}\left(\left\{ b_{2}\right\} \right)\Leftrightarrow b_{1}=b_{2}\)となるので\(\Leftarrow\)が成り立つ。

\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない

反例で示す。
\(X=\emptyset,Y=\left\{ y_{1},y_{2}\right\} \)として\(f\)を空写像とする。
このとき、\(B_{1}=\left\{ y_{1}\right\} ,B_{2}=\left\{ y_{2}\right\} \)とすると、左辺は\(\left\{ y_{1}\right\} \subseteq\left\{ y_{2}\right\} \)で偽、右辺は\(f^{\bullet}\left(\left\{ y_{1}\right\} \right)\subseteq f^{\bullet}\left(\left\{ y_{2}\right\} \right)\Leftrightarrow\emptyset\subseteq\emptyset\)で真となり、全体では偽となるので成り立たない。

(8)-2

\(B_{1}\subseteq B_{2}\)のとき、両辺に\(f^{\bullet}\)を作用させると\(f^{\bullet}\left(B_{1}\right)\subseteq f^{\bullet}\left(B_{2}\right)\)となるので、\(B_{1}\subseteq B_{2}\Rightarrow f^{\bullet}\left(B_{1}\right)\subseteq f^{\bullet}\left(B_{2}\right)\)となる。
また、全射ならば\(f^{\bullet}\left(B_{1}\right)\subseteq f^{\bullet}\left(B_{2}\right)\Rightarrow ff^{\bullet}\left(B_{1}\right)\subseteq ff^{\bullet}\left(B_{2}\right)\Leftrightarrow B_{1}\subseteq B_{2}\)となるので\(\Leftarrow\)が成り立つ。

(8)-3

\(\Rightarrow\)の証明のみ。
\begin{align*} x\in f^{\bullet}\left(B_{1}\right) & \Leftrightarrow\exists y\in B_{1},f\left(x\right)=y\\ & \Rightarrow\exists y\in B_{2},f\left(x\right)=y\\ & \Leftrightarrow x\in f^{\bullet}\left(B_{2}\right) \end{align*} これより、与式は成り立つ。

(9)

\(\Rightarrow\)

(8)より、
\begin{align*} B\subseteq f\left(A\right) & \Rightarrow f^{\bullet}\left(B\right)\subseteq f^{\bullet}f\left(A\right) \end{align*}

全射ならば\(\Leftarrow\)

全射であるとき、\(f^{\bullet}\left(B\right)\subseteq f^{\bullet}f\left(A\right)\Rightarrow ff^{\bullet}\left(B\right)\subseteq ff^{\bullet}f\left(A\right)\Leftrightarrow B\subseteq f\left(A\right)\)となるので\(\Leftarrow\)が成り立つ。

\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない

反例で示す。
\(X=\emptyset,Y=\left\{ y\right\} \)として\(f\)を空写像とする。
このとき、\(A=\emptyset,B=\left\{ y\right\} \)とすると、左辺は\(\left\{ y\right\} \subseteq f\left(\emptyset\right)\Leftrightarrow\left\{ y\right\} \subseteq\emptyset\)で偽、右辺は\(f^{\bullet}\left(\left\{ y\right\} \right)\subseteq f^{\bullet}f\left(\emptyset\right)\Leftrightarrow\emptyset\subseteq\emptyset\)で真となり、全体では偽となるので成り立たない。

(10)

\(\Rightarrow\)

\begin{align*} f\left(A\right)\subseteq B & \Rightarrow f^{\bullet}f\left(A\right)\subseteq f^{\bullet}\left(B\right)\\ & \Leftrightarrow A\subseteq f^{\bullet}f\left(A\right)\subseteq f^{\bullet}\left(B\right)\\ & \Leftrightarrow A\subseteq f^{\bullet}\left(B\right) \end{align*}

\(\Leftarrow\)

\begin{align*} A\subseteq f^{\bullet}\left(B\right) & \Rightarrow f\left(A\right)\subseteq ff^{\bullet}\left(B\right)\\ & \Leftrightarrow f\left(A\right)\subseteq ff^{\bullet}\left(B\right)\subseteq B\\ & \Leftrightarrow f\left(A\right)\subseteq B \end{align*}

\(\Leftrightarrow\)

これより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので題意は成り立つ。

(11)

\(\Rightarrow\)

\[ f\left(A_{1}\right)\subseteq f\left(A_{2}\right)\Rightarrow f^{\bullet}f\left(A_{1}\right)\subseteq f^{\bullet}f\left(A_{2}\right) \]

\(\Leftarrow\)

\begin{align*} f^{\bullet}f\left(A_{1}\right)\subseteq f^{\bullet}f\left(A_{2}\right) & \Rightarrow ff^{\bullet}f\left(A_{1}\right)\subseteq ff^{\bullet}f\left(A_{2}\right)\\ & \Leftrightarrow f\left(A_{1}\right)\subseteq f\left(A_{2}\right) \end{align*}

\(\Leftrightarrow\)

これより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので題意は成り立つ。

(12)

\(\Rightarrow\)

(8)より、
\begin{align*} B_{1}=B_{2} & \Leftrightarrow B_{1}\subseteq B_{2}\land B_{1}\supseteq B_{2}\\ & \Rightarrow f^{\bullet}\left(B_{1}\right)\subseteq f^{\bullet}\left(B_{2}\right)\land f^{\bullet}\left(B_{1}\right)\supseteq f^{\bullet}\left(B_{2}\right)\\ & \Leftrightarrow f^{\bullet}\left(B_{1}\right)=f^{\bullet}\left(B_{2}\right) \end{align*}

全射ならば\(\Leftarrow\)

全射ならば、\(f^{\bullet}\left(B_{1}\right)\subseteq f^{\bullet}\left(B_{2}\right)\Rightarrow ff^{\bullet}\left(B_{1}\right)\subseteq ff^{\bullet}\left(B_{2}\right)\Leftrightarrow B_{1}\subseteq B_{2}\)となり、同様に\(f^{\bullet}\left(B_{1}\right)\supseteq f^{\bullet}\left(B_{2}\right)\Rightarrow B_{1}\supseteq B_{2}\)となるので\(\Leftarrow\)が成り立つ。

\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない

反例で示す。
\(X=\emptyset,Y=\left\{ y_{1},y_{2}\right\} \)として\(f\)を空写像とする。
このとき、\(B_{1}=\left\{ y_{1}\right\} ,B_{2}=\left\{ y_{2}\right\} \)とすると、左辺は\(\left\{ y_{1}\right\} =\left\{ y_{2}\right\} \)で偽、右辺は\(f^{\bullet}\left(\left\{ y_{1}\right\} \right)=f^{\bullet}\left(\left\{ y_{2}\right\} \right)\Leftrightarrow\emptyset=\emptyset\)で真となり、全体では偽となるので成り立たない。

(13)

(9),(10)より、
\begin{align*} f\left(A\right)=B & \Leftrightarrow f\left(A\right)\subseteq B\land f\left(A\right)\supseteq B\\ & \Rightarrow f^{\bullet}f\left(A\right)\subseteq f^{\bullet}\left(B\right)\land f^{\bullet}f\left(A\right)\supseteq f^{\bullet}\left(B\right)\\ & \Leftrightarrow f^{\bullet}f\left(A\right)=f^{\bullet}\left(B\right) \end{align*}

全射ならば\(\Leftarrow\)

全射ならば、\(f^{\bullet}f\left(A\right)\subseteq f^{\bullet}\left(B\right)\Rightarrow ff^{\bullet}f\left(A\right)\subseteq ff^{\bullet}\left(B\right)\Leftrightarrow f\left(A\right)\subseteq B\)となり、同様に\(f^{\bullet}f\left(A\right)\supseteq f^{\bullet}\left(B\right)\Rightarrow f\left(A\right)\supseteq B\)となるので\(\Leftarrow\)が成り立つ。

\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない

反例で示す。
\(X=\emptyset,Y=\left\{ y\right\} \)として\(f\)を空写像とする。
このとき、\(A=\emptyset,B=\left\{ y\right\} \)とすると、左辺は\(f\left(\emptyset\right)=\left\{ y\right\} \Leftrightarrow\emptyset=\left\{ y\right\} \)で偽、右辺は\(f^{\bullet}f\left(\emptyset\right)=f^{\bullet}\left(\left\{ y\right\} \right)\Leftrightarrow\emptyset=\emptyset\)で真となり、全体では偽となるので成り立たない。

(14)

(11)より、
\begin{align*} f\left(A_{1}\right)=f\left(A_{2}\right) & \Leftrightarrow f\left(A_{1}\right)\subseteq f\left(A_{2}\right)\land f\left(A_{1}\right)\supseteq f\left(A_{2}\right)\\ & \Leftrightarrow f^{\bullet}f\left(A_{1}\right)\subseteq f^{\bullet}f\left(A_{2}\right)\land f^{\bullet}f\left(A_{1}\right)\supseteq f^{\bullet}f\left(A_{2}\right)\\ & \Leftrightarrow f^{\bullet}f\left(A_{1}\right)=f^{\bullet}f\left(A_{2}\right) \end{align*}

(15)

\(\Rightarrow\)

\begin{align*} f\left(A\right)\subseteq B\cap f\left(X\right) & \Rightarrow f^{\bullet}f\left(A\right)\subseteq f^{\bullet}\left(B\cap f\left(X\right)\right)\\ & \Leftrightarrow f^{\bullet}f\left(A\right)\subseteq f^{\bullet}\left(B\right)\cap f^{\bullet}f\left(X\right)\\ & \Leftrightarrow f^{\bullet}f\left(A\right)\subseteq f^{\bullet}\left(B\right)\cap X\\ & \Leftrightarrow f^{\bullet}f\left(A\right)\subseteq f^{\bullet}\left(B\right) \end{align*}

\(\Leftarrow\)

\begin{align*} f^{\bullet}f\left(A\right)\subseteq f^{\bullet}\left(B\right) & \Rightarrow ff^{\bullet}f\left(A\right)\subseteq ff^{\bullet}\left(B\right)\\ & \Leftrightarrow f\left(A\right)\subseteq B\cap f\left(X\right) \end{align*}

\(\Leftrightarrow\)

これより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので題意は成り立つ。

(16)

(15)と同様にすればよい。

(17)

\(\Rightarrow\)

\begin{align*} B_{1}\cap f\left(X\right)\subseteq B_{2}\cap f\left(X\right) & \Rightarrow f^{\bullet}\left(B_{1}\cap f\left(X\right)\right)\subseteq f^{\bullet}\left(B_{2}\cap f\left(X\right)\right)\\ & \Leftrightarrow f^{\bullet}\left(B_{1}\right)\cap f^{\bullet}f\left(X\right)\subseteq f^{\bullet}\left(B_{2}\right)\cap f^{\bullet}f\left(X\right)\\ & \Leftrightarrow f^{\bullet}\left(B_{1}\right)\cap X\subseteq f^{\bullet}\left(B_{2}\right)\cap X\\ & \Leftrightarrow f^{\bullet}\left(B_{1}\right)\subseteq f^{\bullet}\left(B_{2}\right) \end{align*}

\(\Leftarrow\)

\(\Leftrightarrow\)

これより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので題意は成り立つ。

(18)

(15)(16)より、
\begin{align*} f\left(A\right)=B\cap f\left(X\right) & \Leftrightarrow f\left(A\right)\subseteq B\cap f\left(X\right)\land f\left(A\right)\supseteq B\cap f\left(X\right)\\ & \Leftrightarrow f^{\bullet}f\left(A\right)\subseteq f^{\bullet}\left(B\right)\land f^{\bullet}f\left(A\right)\supseteq f^{\bullet}\left(B\right)\\ & \Leftrightarrow f^{\bullet}f\left(A\right)=f^{\bullet}\left(B\right) \end{align*}

(19)

(17)より、
\begin{align*} B_{1}\cap f\left(X\right)=B_{2}\cap f\left(X\right) & \Leftrightarrow B_{1}\cap f\left(X\right)\subseteq B_{2}\cap f\left(X\right)\land B_{1}\cap f\left(X\right)\supseteq B_{2}\cap f\left(X\right)\\ & \Leftrightarrow f^{\bullet}\left(B_{1}\right)\subseteq f^{\bullet}\left(B_{2}\right)\land f^{\bullet}\left(B_{1}\right)\supseteq f^{\bullet}\left(B_{2}\right)\\ & \Leftrightarrow f^{\bullet}\left(B_{1}\right)=f^{\bullet}\left(B_{2}\right) \end{align*}

(20)

(2)より、
\begin{align*} a\in A & \Leftrightarrow\left\{ a\right\} \subseteq A\\ & \Rightarrow f\left(a\right)\in f\left(A\right) \end{align*}

(20)-2

\begin{align*} a\in A & \Leftrightarrow\exists x\in A,a=x\\ & \Rightarrow\exists x\in A,f\left(a\right)=f\left(x\right)\\ & \Leftrightarrow f\left(a\right)\in f\left(A\right) \end{align*}

(20)-3

\(a\in A\)のとき、
\begin{align*} b\in f\left(\left\{ a\right\} \right) & \Leftrightarrow\left\{ b\right\} \subseteq f\left(\left\{ a\right\} \right)\\ & \Leftrightarrow\exists x\in\left\{ a\right\} ,b=f\left(x\right)\\ & \Rightarrow\exists x\in A,b=f\left(x\right)\\ & \Leftrightarrow b\in f\left(A\right) \end{align*} となるので、\(a\in A\Rightarrow f\left(a\right)\in f\left(A\right)\)となる。

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タイトル	像と逆像による包含関係と相等関係
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2つの写像の単射と全射との関係

像・逆像と空集合

\[ \forall A\subseteq X,\left(f\left(A\right)=\emptyset\leftrightarrow A=\emptyset\right) \]

空写像の定義と性質

\[ f:\emptyset\rightarrow Y \]

像と逆像の定義と性質

\[ f\left(A\right):=\left\{ f\left(x\right)\in Y;x\in A\right\} \]