(1)

\(f\)が写像であるためには、\(\forall x\in\emptyset,\exists!y\in Y,f\left(x\right)=y\)であるが、\(\forall x\in\emptyset\)は常に真なので全体として真となり、写像は存在する。
写像の個数は\(\left|Y^{\emptyset}\right|=\left|Y\right|^{\left|\emptyset\right|}=\left|Y\right|^{0}=1\)となるので1つのみとなる。
単射であるためには\(\forall x_{1},x_{2}\in\emptyset,x_{1}\ne x_{2}\Rightarrow f\left(x_{1}\right)\ne f\left(x_{2}\right)\)とならなければいけないが、\(\forall x_{1},x_{2}\in\emptyset\)は常に真なので全体として真となり単射となる。
全射であるためには\(\forall y\in Y,\exists x\in\emptyset,f\left(x\right)=y\)とならなければいけないが\(\exists x\in\emptyset\)は常に偽なので全体として偽になり全射ではない。

(2)

\(f\)が写像であるためには、\(\forall x\in X,\exists!y\in\emptyset,f\left(x\right)=y\)であるが、\(\exists y\in\emptyset\)は常に偽なので全体として偽となり、写像は存在しない。
写像の個数は\(\left|\emptyset^{X}\right|=\left|\emptyset\right|^{\left|X\right|}=0^{\left|X\right|}=0\)となるので0となる。
全射となるためには\(\forall y\in\emptyset,\exists x\in X,f\left(x\right)=y\)が真になる必要があるが、写像\(f\)が存在しないので、\(f\left(x\right)=y\)は真でも偽でもなく命題でないので、全射とはならない。
単射となるためには、\(\forall x_{1},x_{2}\in X,x_{1}\ne x_{2}\Rightarrow f\left(x_{1}\right)\ne f\left(x_{2}\right)\)が真になる必要があるが、\(f\left(x_{1}\right)\ne f\left(x_{2}\right)\)は真でも偽でもなく命題でないので、単射とはならない。

(3)

\(f\)が写像であるためには、\(\forall x\in\emptyset,\exists!y\in\emptyset,f\left(x\right)=y\)であるが、\(\forall x\in\emptyset\)は常に真なので全体として真となり写像は存在する。
写像の個数は\(\left|\emptyset^{\emptyset}\right|=\left|\emptyset\right|^{\left|\emptyset\right|}=0^{0}=1\)となるので1つのみとなる。
単射であるためには\(\forall x_{1},x_{2}\in\emptyset,x_{1}\ne x_{2}\Rightarrow f\left(x_{1}\right)\ne f\left(x_{2}\right)\)とならなければいけないが、\(\forall x,y\in\emptyset\)は常に真なので全体として真となり単射となる。
全射であるためには\(\forall y\in\emptyset,\exists x\in\emptyset,f\left(x\right)=y\)とならなければいけないが\(\forall y\in\emptyset\)は常に真なので全体として真になり全射となる。