全域写像と部分写像の定義
全域写像と部分写像を次で定義する。

(1)全域写像

写像\(f:X\rightarrow Y\)の定義域が始域\(X\)全体であるとき写像\(f\)を全域写像という。
写像と全域写像は同じであり、全域写像は部分写像の特別な場合として使われる。
写像\(f\)のグラフを\(G\subseteq X\times Y\)とすると、全域写像の定義域と値域は次のようになる。
\[ \Def\left(f\right)=\left\{ x;\exists y,\left(x,y\right)\in G\right\} =X \] \[ \ran\left(f\right)=\left\{ y;\exists x,\left(x,y\right)\in G\right\} \subseteq Y \] 普通の写像は全域写像である。

(2)部分写像

写像\(f:X\rightarrow Y\)の定義域が始域\(X\)の部分集合\(X^{\prime}\subseteq X\)であるとき写像\(f\)を部分写像という。\(X=X^{\prime}\)のときは、全域写像となる。
部分写像を\(f:X\nrightarrow Y\)で表すこともある。
写像\(f\)のグラフを\(G\subseteq X\times Y\)とすると、部分写像は右一意性、\(\left(x,y_{1}\right)\in G\land\left(x,y_{2}\right)\in G\rightarrow y_{1}=y_{2}\)を満たす、3つ組\(\left(X,Y,G\right)\)で定義される。
部分写像での定義域と値域は次のようになる。
\[ \Def\left(f\right)=\left\{ x;\exists y,\left(x,y\right)\in G\right\} \subseteq X \] \[ \ran\left(f\right)=\left\{ y;\exists x,\left(x,y\right)\in G\right\} \subseteq Y \] 定義域でない\(X\)の元は\(x\notin\Def\left(f\right)\)や写像\(f\)は点\(x\)において定義されていないのように表す。