(1)

写像\(f:X\rightarrow Y\)とする。

\(\Rightarrow\)

\(f\)の左逆写像を\(g\)とする。
このとき、
\begin{align*} f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right) & \Rightarrow g\circ f\left(x_{1}\right)=g\circ f\left(x_{2}\right)\\ & \Leftrightarrow\id_{X}\left(x_{1}\right)=\id_{X}\left(x_{2}\right)\\ & \Leftrightarrow x_{1}=x_{2} \end{align*} となるので\(f\)は単射となる。

\(\Leftarrow\)

写像\(g:Y\rightarrow X\)を
\[ g\left(y\right)=\begin{cases} f^{\bullet}\left(y\right) & y\in f\left(X\right)\\ x_{0} & y\in Y\setminus f\left(X\right) \end{cases} \] とする。
ここで\(x_{0}\)は\(X\)から任意に1つ選んでいる。
ただし、写像\(f\)には逆写像が存在するとは限らないが、\(f:X\rightarrow f\left(X\right)\)としたときの逆写像を表している。
このとき任意の\(x\in X\)に対し、\(f\left(x\right)\in f\left(X\right)\)なので、\(g\circ f\left(x\right)=g\left(f\left(x\right)\right)=f^{\bullet}\left(f\left(x\right)\right)=x\)となるので、\(g\)は左逆写像となる。
故に単射であるなら左逆写像が存在する。

\(\Leftrightarrow\)

これより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので、\(\Leftrightarrow\)が成り立ち題意は成り立つ。

(2)

写像\(f:X\rightarrow Y\)とする。

\(\Rightarrow\)

\(f\)の右逆写像を\(h\)とする。
\[ Y\supseteq f\left(X\right)\supseteq f\left(h\left(Y\right)\right)=f\circ h\left(Y\right)=\id_{Y}\left(Y\right)=Y \] これより、\(f\left(X\right)=Y\)となるので\(f\)は全射となる。

\(\Leftarrow\)

選択公理を仮定する。
\(f\)は全射であるので任意の元\(y\in Y\)に対する\(f\)の逆像\(f^{\bullet}\left(\left\{ y\right\} \right)\)は空ではない。
ここで選択公理を認め、選択関数\(c:f^{\bullet}\left(\left\{ y\right\} \right)\rightarrow X\)を考えると、どのように選択しても\(f\circ c\left(f^{\bullet}\left(\left\{ y\right\} \right)\right)=f\left(c\left(f^{\bullet}\left(\left\{ y\right\} \right)\right)\right)=y\)となる。
これより、\(c\left(f^{\bullet}\left(\left\{ y\right\} \right)\right)\)は\(f\)の右逆関数になっている。
故に選択公理を認めるなら\(\Leftarrow\)が成り立つ。

(3)

写像\(f:X\rightarrow Y\)として、\(f\)の右逆写像\(h\)と左逆写像\(g\)が共に存在するとする。
このとき、
\begin{align*} h & =\id_{X}\circ h\\ & =g\circ f\circ h\\ & =g\circ\id_{Y}\\ & =g \end{align*} となるので、左逆写像と右逆写像が共に存在するなら一致し、それを\(f^{\bullet}\)で表すと\(f\circ f^{\bullet}=\id_{Y},f^{\bullet}\circ f=\id_{X}\)となるので逆写像となる。

(3)-2

\(f\)に左逆写像が存在するときは単射となり、右逆写像が存在するときは全射となるので、両方存在するときは全単射となり逆写像\(f^{\bullet}\)が存在し\(f\circ f^{\bullet}=\id_{Y},f^{\bullet}\circ f=\id_{X}\)となる。
これより左逆写像も右逆写像も逆写像となる。

(4)

全射の右逆写像が存在するとき、任意の全射\(f:X\rightarrow Y\)に対して、ある写像\(g:Y\rightarrow X\)が存在して\(f\circ g=\id_{Y}\)を満たす。

\(\Rightarrow\)

\(f:X\rightarrow Y\)が全射であるとき、逆像全体の集合族\(\left\{ f^{\bullet}\left(y\right)\right\} _{y\in Y}\)は非空集合族\(\emptyset\notin\left\{ f^{\bullet}\left(y\right)\right\} _{y\in Y}\)なので、条件より選択公理を満たし、ある選択関数\(g:Y\rightarrow\bigcup_{y\in Y}f^{\bullet}\left(y\right)=X,\forall y\in Y,g\left(y\right)\in f^{\bullet}\left(y\right)\)が存在して、\(y=f\left(g\left(y\right)\right)\in ff^{\bullet}\left(y\right)=\left\{ y\right\} \)となるので\(f\circ g=\id_{Y}\)を満たす。
従って\(\Rightarrow\)が成り立つ。

\(\Leftarrow\)

任意の全射\(f_{0}:X\rightarrow\Lambda\)があるとき、\(X_{\lambda}=\left\{ x;x\in X,f_{0}\left(x\right)=\lambda\in\Lambda\right\} \)とすると、\(\left\{ X_{\lambda}\right\} _{\lambda\in\Lambda}\)は非空集合族\(\emptyset\notin\left\{ X_{\lambda}\right\} _{\lambda\in\Lambda}\)となる。
このとき、\(f:\bigcup_{\lambda\in\Lambda}X_{\lambda}\rightarrow\Lambda\)を\(x\in X_{\lambda},f\left(x\right)=\lambda\in\Lambda\)
とすると、\(\lambda=f\left(x\right)\in f\left(X_{\lambda}\right)\)となる。
そうすると\(f\)は全射なので、条件より、ある写像\(g:\Lambda\rightarrow\bigcup_{\lambda\in\Lambda}X_{\lambda}\)が存在して、\(f\circ g=\id_{Y}\)となる。
これより、\(g\left(\lambda\right)=g\left(f\left(x\right)\right)\in g\left(f\left(X_{\lambda}\right)\right)=X_{\lambda}\)となり、\(g\)は選択関数になる。

\(\Leftrightarrow\)

これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)を満たすので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。