(1)逆写像

写像\(f:\left\{ x_{1}\right\} \rightarrow\left\{ y_{1}\right\} \)を\(f\left(x_{1}\right)=y_{1}\)とすると、写像\(f^{\bullet}:\left\{ y_{1}\right\} \rightarrow\left\{ x_{1}\right\} \)を\(f^{\bullet}\left(y_{1}\right)=x_{1}\)とすると、任意の\(x\in\left\{ x_{1}\right\} ,y\in\left\{ y_{1}\right\} \)に対し、\(f\left(x\right)=y\Leftrightarrow f^{\bullet}\left(y\right)=x\)が成り立つのでき\(f^{\bullet}\)は\(f\)の逆写像となる。
このとき、写像\(f\)に逆写像が存在するので可逆となり、写像\(f\)は可逆写像となる。

(2)逆写像

写像\(f:\left\{ x_{1},x_{2}\right\} \rightarrow\left\{ y_{1},y_{2}\right\} \)を\(f\left(x_{1}\right)=y_{1},f\left(x_{2}\right)=y_{1}\)とすると、逆写像は存在しない。
写像\(f:\left\{ x_{1},x_{2}\right\} \rightarrow\left\{ y_{1}\right\} \)を\(f\left(x_{1}\right)=y_{1},f\left(x_{2}\right)=y_{1}\)とすると、逆写像は存在しない。
写像\(f:\left\{ x_{1}\right\} \rightarrow\left\{ y_{1},y_{2}\right\} \)を\(f\left(x_{1}\right)=y_{1}\)とすると、逆写像は存在しない。

(3)左逆写像

写像\(f:\left\{ x_{1}\right\} \rightarrow\left\{ y_{1},y_{2}\right\} \)を\(f\left(x_{1}\right)=y_{1}\)として、\(g:\left\{ y_{1},y_{2}\right\} \rightarrow\left\{ x_{1}\right\} \)を\(g\left(y_{1}\right)=x_{1},g\left(y_{2}\right)=x_{1}\)とすると、\(\left(g\circ f\right)\left(x_{1}\right)=g\left(f\left(x_{1}\right)\right)=g\left(y_{1}\right)=x_{1}=\id_{\left\{ x_{1}\right\} }\left(x_{1}\right)\)となるので\(g\)は\(f\)の左逆写像となる。
しかし、\(\left(f\circ g\right)\left(y_{2}\right)=f\left(g\left(y_{2}\right)\right)=f\left(x_{1}\right)=y_{1}\ne\id_{\left\{ y_{1},y_{2}\right\} }\left(y_{2}\right)\)となるので右逆写像ではない。

(4)右逆写像

写像\(f:\left\{ x_{1},x_{2}\right\} \rightarrow\left\{ y_{1}\right\} \)を\(f\left(x_{1}\right)=y_{1},f\left(x_{2}\right)=y_{1}\)として、\(g:\left\{ y_{1}\right\} \rightarrow\left\{ x_{1},x_{2}\right\} \)を\(g\left(y_{1}\right)=x_{1}\)とすると、\(\left(f\circ g\right)\left(y_{1}\right)=f\left(g\left(y_{1}\right)\right)=f\left(x_{1}\right)=y_{1}=\id_{\left\{ y_{1}\right\} }\left(y_{1}\right)\)となるので右逆写像となる。
しかし、\(\left(g\circ f\right)\left(x_{2}\right)=g\left(f\left(x_{2}\right)\right)=g\left(y_{1}\right)=x_{1}\ne\id_{\left\{ x_{1}\right\} }\left(x_{2}\right)\)となるので左逆写像ではない。

(5)シフト作用素

\(K\)の元を並べた数列の集合\(\ell\left(K\right)\)で、左シフト作用素を
\[ f_{L}:\ell\left(K\right)\rightarrow\ell\left(K\right),\left(a_{1},a_{2},\cdots\right)\mapsto\left(a_{2},a_{3},\cdots\right) \] と定め、右シフト作用素を
\[ f_{R}:\ell\left(K\right)\rightarrow\ell\left(K\right),\left(a_{1},a_{2},\cdots\right)\mapsto\left(0,a_{1},a_{2},\cdots\right) \] と定める。
この作用素は、\(f_{L}\circ f_{R}=1_{\ell\left(K\right)}\)であるが、\(f_{R}\circ f_{L}\ne1_{\ell\left(K\right)}\)である。
これより、\(f_{R}\)には左逆写像\(f_{L}\)が存在するが、\(f_{L}\)は右逆写像になっていないので右逆写像は存在しない。
また、\(f_{L}\)には右逆写像\(f_{R}\)が存在するが、\(f_{R}\)は左逆写像になっていないので左逆写像は存在しない。