写像の直和・直積の定義
写像の直和・直積を次で定義する。
2つの写像\(f_{1},f_{2}\)の定義域の積集合\(X_{1}\cap X_{2}\)に制限した写像\(f_{1}\mid_{X_{1}\cap X_{2}},f_{2}\mid_{X_{1}\cap X_{2}}\)が\(f_{1}\mid_{X_{1}\cap X_{2}}=f_{2}\mid_{X_{1}\cap X_{2}}\)となるとき、この2つのグラフの和集合\(G=G_{1}\cup G_{2}\)をグラフとする写像
\(f_{1}\oplus f_{2}:X_{1}\cup X_{2}\rightarrow Y\)、
\begin{align*} \left(f_{1}\oplus f_{2}\right)\left(x\right) & =\begin{cases} f_{1}\left(x\right) & x\in X_{1}\setminus X_{2}\\ f_{2}\left(x\right) & x\in X_{2}\setminus X_{1}\\ f_{1}\mid_{X_{1}\cap X_{2}}\left(x\right)=f_{2}\mid_{X_{1}\cap X_{2}}\left(x\right) & x\in X_{1}\cap X_{2} \end{cases}\\ & =\begin{cases} f_{1}\left(x\right) & x\in X_{1}\\ f_{2}\left(x\right) & x\in X_{2} \end{cases} \end{align*} を写像の直和という。
交差している部分\(X_{1}\cap X_{2}\)はどちらの写像を選んでも同じなので最後の等式が成り立つ。
これは定義域が非交差\(X_{1}\cap X_{2}=\emptyset\)であるときも\(f_{1}\mid_{X_{1}\cap X_{2}}=f_{2}\mid_{X_{1}\cap X_{2}}\)であるので成り立つ。
この直和は可換\(f_{1}\oplus f_{2}=f_{2}\oplus f_{1}\)である。
\[ \left(f_{1}\oplus f_{2}\right)\left(x\right)=\begin{cases} f_{1}\left(x\right) & x\in X_{1}\setminus X_{2}\\ f_{2}\left(x\right) & x\in X_{2} \end{cases} \] を写像の上書き和という。
これは写像\(f_{1}\)の上から写像\(f_{2}\)を上書き、つまり重なっている定義域の領域では\(f_{2}\)を優先した写像である。
写像の上書き和は一般的に非可換\(f_{1}\oplus f_{2}\ne f_{2}\oplus f_{1}\)である。
\[ \left(f_{1}\times f_{2}\right)\left(x_{1},x_{2}\right)=\left(f_{1}\left(x_{1}\right),f_{2}\left(x_{2}\right)\right) \] としたものを写像の直積という。
写像の直積は一般的に非可換\(f_{1}\times f_{2}\ne f_{2}\times f_{1}\)である。
写像の直和・直積を次で定義する。
(1)直和
2つの写像\(f_{1}:X_{1}\rightarrow Y,f_{2}:X_{2}\rightarrow Y\)があり、\(f_{1}\)のグラフを\(G_{1}\)、\(f_{2}\)のグラフを\(G_{2}\)とする。2つの写像\(f_{1},f_{2}\)の定義域の積集合\(X_{1}\cap X_{2}\)に制限した写像\(f_{1}\mid_{X_{1}\cap X_{2}},f_{2}\mid_{X_{1}\cap X_{2}}\)が\(f_{1}\mid_{X_{1}\cap X_{2}}=f_{2}\mid_{X_{1}\cap X_{2}}\)となるとき、この2つのグラフの和集合\(G=G_{1}\cup G_{2}\)をグラフとする写像
\(f_{1}\oplus f_{2}:X_{1}\cup X_{2}\rightarrow Y\)、
\begin{align*} \left(f_{1}\oplus f_{2}\right)\left(x\right) & =\begin{cases} f_{1}\left(x\right) & x\in X_{1}\setminus X_{2}\\ f_{2}\left(x\right) & x\in X_{2}\setminus X_{1}\\ f_{1}\mid_{X_{1}\cap X_{2}}\left(x\right)=f_{2}\mid_{X_{1}\cap X_{2}}\left(x\right) & x\in X_{1}\cap X_{2} \end{cases}\\ & =\begin{cases} f_{1}\left(x\right) & x\in X_{1}\\ f_{2}\left(x\right) & x\in X_{2} \end{cases} \end{align*} を写像の直和という。
交差している部分\(X_{1}\cap X_{2}\)はどちらの写像を選んでも同じなので最後の等式が成り立つ。
これは定義域が非交差\(X_{1}\cap X_{2}=\emptyset\)であるときも\(f_{1}\mid_{X_{1}\cap X_{2}}=f_{2}\mid_{X_{1}\cap X_{2}}\)であるので成り立つ。
この直和は可換\(f_{1}\oplus f_{2}=f_{2}\oplus f_{1}\)である。
(2)上書き和
2つの写像\(f_{1}:X_{1}\rightarrow Y,f_{2}:X_{2}\rightarrow Y\)があり、制限\(f_{1}\mid_{X_{1}\setminus X_{2}}\)のグラフと\(f_{2}\)のグラフの和集合をグラフとする写像の直和\(f_{1}\oplus f_{2}:X_{1}\cup X_{2}\rightarrow Y\)、つまり\[ \left(f_{1}\oplus f_{2}\right)\left(x\right)=\begin{cases} f_{1}\left(x\right) & x\in X_{1}\setminus X_{2}\\ f_{2}\left(x\right) & x\in X_{2} \end{cases} \] を写像の上書き和という。
これは写像\(f_{1}\)の上から写像\(f_{2}\)を上書き、つまり重なっている定義域の領域では\(f_{2}\)を優先した写像である。
写像の上書き和は一般的に非可換\(f_{1}\oplus f_{2}\ne f_{2}\oplus f_{1}\)である。
(3)直積
2つの写像\(f_{1}:X_{1}\rightarrow Y_{1},f_{2}:X_{2}\rightarrow Y_{2}\)があるとき、写像\(f_{1}\times f_{2}:X_{1}\times X_{2}\rightarrow Y_{1}\times Y_{2}\)を\(x_{1}\in X_{1},x_{2}\in X_{2}\)として\[ \left(f_{1}\times f_{2}\right)\left(x_{1},x_{2}\right)=\left(f_{1}\left(x_{1}\right),f_{2}\left(x_{2}\right)\right) \] としたものを写像の直積という。
写像の直積は一般的に非可換\(f_{1}\times f_{2}\ne f_{2}\times f_{1}\)である。
(1)
写像\(f_{1}:\left\{ x_{1}\right\} \rightarrow\left\{ y_{1}\right\} ,f_{2}:\left\{ x_{2}\right\} \rightarrow\left\{ y_{1}\right\} \)を\(f_{1}\left(x_{1}\right)=y_{1},f_{2}\left(x_{2}\right)=y_{1}\)とする。このとき、始域の積集合は\(\left\{ x_{1}\right\} \cap\left\{ x_{2}\right\} =\emptyset\)なので、直和は\(\left(f_{1}\oplus f_{2}\right)\left(x_{1}\right)=y_{1},\left(f_{1}\oplus f_{2}\right)\left(x_{2}\right)=y_{1}\)となる。
(2)
写像\(f_{1}:\left\{ x_{1},x_{3}\right\} \rightarrow\left\{ y_{1},y_{2}\right\} ,f_{2}:\left\{ x_{2},x_{3}\right\} \rightarrow\left\{ y_{1},y_{2}\right\} \)を\(f_{1}\left(x_{1}\right)=y_{1},f_{1}\left(x_{3}\right)=y_{2},f_{2}\left(x_{2}\right)=y_{1},f_{2}\left(x_{3}\right)=y_{2}\)とする。このとき、始域の積集合は\(\left\{ x_{1},x_{3}\right\} \cap\left\{ x_{2},x_{3}\right\} =\left\{ x_{3}\right\} \)であり、\(f_{1}\mid_{\left\{ x_{3}\right\} }=f_{2}\mid_{\left\{ x_{3}\right\} }\)となるので、直和は\(\left(f_{1}\oplus f_{2}\right)\left(x_{1}\right)=y_{1},\left(f_{1}\oplus f_{2}\right)\left(x_{2}\right)=y_{1},\left(f_{1}\oplus f_{2}\right)\left(x_{3}\right)=y_{2}\)となる。
(3)
写像\(f_{1}:\left\{ x_{1},x_{3}\right\} \rightarrow\left\{ y_{1},y_{2}\right\} ,f_{2}:\left\{ x_{2},x_{3}\right\} \rightarrow\left\{ y_{1},y_{2}\right\} \)を\(f_{1}\left(x_{1}\right)=y_{1},f_{1}\left(x_{3}\right)=y_{2},f_{2}\left(x_{2}\right)=y_{1},f_{2}\left(x_{3}\right)=y_{1}\)とする。このとき、始域の積集合は\(\left\{ x_{1},x_{3}\right\} \cap\left\{ x_{2},x_{3}\right\} =\left\{ x_{3}\right\} \)であり、\(f_{1}\mid_{\left\{ x_{3}\right\} }\ne f_{2}\mid_{\left\{ x_{3}\right\} }\)となるので直和は定義できない。
上書き和は\(\left(f_{1}\oplus f_{2}\right)\left(x_{1}\right)=f_{1}\left(x_{1}\right)=y_{1},\left(f_{1}\oplus f_{2}\right)\left(x_{2}\right)=f_{2}\left(x_{2}\right)=y_{1},\left(f_{1}\oplus f_{2}\right)\left(x_{3}\right)=f_{2}\left(x_{3}\right)=y_{1}\)となる。
(4)
写像\(f_{1}:\left\{ x_{1}\right\} \rightarrow\left\{ y_{1}\right\} ,f_{2}:\left\{ x_{2},x_{3}\right\} \rightarrow\left\{ y_{2},y_{3}\right\} \)を\(f_{1}\left(x_{1}\right)=y_{1},f_{2}\left(x_{2}\right)=y_{2},f_{2}\left(x_{3}\right)=y_{3}\)とする。このとき、直積は\(\left(f_{1}\times f_{2}\right)\left(x_{1},x_{2}\right)=\left(f_{1}\left(x_{1}\right),f_{2}\left(x_{2}\right)\right)=\left(y_{1},y_{2}\right),\left(f_{1}\times f_{2}\right)\left(x_{1},x_{3}\right)=\left(f_{1}\left(x_{1}\right),f_{2}\left(x_{3}\right)\right)=\left(y_{1},y_{3}\right)\)となる。
ページ情報
| タイトル | 写像の直和・直積の定義 |
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直積集合の射影の定義と性質
\[
\pi_{J}:X_{I}\rightarrow X_{J},\left(x_{i}\right)_{i\in I}\mapsto\left(x_{j}\right)_{j\in J}
\]
写像の制限と拡張の定義
\[
f|_{A}=f\circ i_{A}
\]
写像・対応のグラフの定義
\[
G\left(f\right)=\left\{ \left(x,f\left(x\right)\right)\in X\times Y;x\in X\right\}
\]
写像・対応の相等の定義
\[
f=g
\]