写像の制限と拡張の定義
2つの写像\(f_{1}:X_{1}\rightarrow Y,f_{2}:X_{2}\rightarrow Y\)があり、始域を\(X_{1}\subseteq X_{2}\)とする。
このとき、任意の\(x\in X_{1}\)に対し、\(f_{1}\left(x\right)=f_{2}\left(x\right)\)となるとき、\(f_{1}\)は\(f_{2}\)の制限といい、\(f_{2}\)は\(f_{1}\)の拡張という。
\(f_{1}\)が\(f_{2}\)の\(X_{1}\)への制限であるとき\(f_{1}=f_{2}|_{X_{1}}\)で表し、\(f_{2}|_{X_{1}}:X_{1}\rightarrow Y\)となる。
\(X_{1}\)を決めれば\(f_{2}\)の制限\(f_{2}\mid_{X_{1}}\)は一意的に決まるが、\(X_{2}\)を決めても\(f_{1}\)の拡張は一意的に決まらない。
制限のグラフは
\[ G\left(f|_{X_{1}}\right)=\left\{ \left(x,f\left(x\right)\right)\in G\left(f\right);x\in X_{1}\right\} \] で表される。
制限写像\(f|_{A}\)は包含写像\(i_{A}:A\rightarrow X\)を用いて\(f|_{A}=f\circ i_{A}\)となる。
始域ではなく終域の制限や拡張をすることもある。
2つの写像\(f_{1}:X_{1}\rightarrow Y,f_{2}:X_{2}\rightarrow Y\)があり、始域を\(X_{1}\subseteq X_{2}\)とする。
このとき、任意の\(x\in X_{1}\)に対し、\(f_{1}\left(x\right)=f_{2}\left(x\right)\)となるとき、\(f_{1}\)は\(f_{2}\)の制限といい、\(f_{2}\)は\(f_{1}\)の拡張という。
\(f_{1}\)が\(f_{2}\)の\(X_{1}\)への制限であるとき\(f_{1}=f_{2}|_{X_{1}}\)で表し、\(f_{2}|_{X_{1}}:X_{1}\rightarrow Y\)となる。
\(X_{1}\)を決めれば\(f_{2}\)の制限\(f_{2}\mid_{X_{1}}\)は一意的に決まるが、\(X_{2}\)を決めても\(f_{1}\)の拡張は一意的に決まらない。
制限のグラフは
\[ G\left(f|_{X_{1}}\right)=\left\{ \left(x,f\left(x\right)\right)\in G\left(f\right);x\in X_{1}\right\} \] で表される。
制限写像\(f|_{A}\)は包含写像\(i_{A}:A\rightarrow X\)を用いて\(f|_{A}=f\circ i_{A}\)となる。
始域ではなく終域の制限や拡張をすることもある。
制限は縮小ともいう。
拡張は拡大・延長ともいう。
拡張は拡大・延長ともいう。
(1)
\(X_{1}=\left\{ x_{1},x_{2}\right\} ,X_{2}=\left\{ x_{1},x_{2},x_{3}\right\} ,Y=\left\{ y_{1},y_{2}\right\} \)として写像\(f_{1}:X_{1}\rightarrow Y\)が\(f_{1}\left(x_{1}\right)=y_{1},f_{1}\left(x_{2}\right)=y_{2}\)とする。このとき、写像\(f_{2}:X_{2}\rightarrow Y\)を\(f_{2}\left(x_{1}\right)=y_{1},f_{2}\left(x_{2}\right)=y_{2},f_{2}\left(x_{3}\right)=y_{2}\)とすると\(X_{1}\subseteq X_{2}\)であり、任意の\(x\in X_{1}\)に対し\(f_{2}\left(x\right)=f_{1}\left(x\right)\)となるので、\(f_{1}\)は\(f_{2}\)の\(X_{1}\)への制限、\(f_{2}\)は\(f_{1}\)の\(X_{2}\)への拡張となる。
(2)
\(X_{1}=\left\{ x_{1},x_{2}\right\} ,Y=\left\{ y_{1},y_{2}\right\} \)として写像\(f_{1}:X_{1}\rightarrow Y\)が\(f_{1}\left(x_{1}\right)=y_{1},f_{1}\left(x_{2}\right)=y_{2}\)とする。このとき、\(X_{2}=\left\{ x_{1}\right\} \subseteq X_{1}\)とすると、\(f_{1}\mid_{X_{2}}:X_{2}\rightarrow Y\)は\(f_{1}\mid_{X_{2}}\left(x_{1}\right)=y_{1}\)と一意的に決まる。
(3)
\(X_{1}=\left\{ x_{1}\right\} ,Y=\left\{ y_{1},y_{2}\right\} \)として写像\(f_{1}:X_{1}\rightarrow Y\)が\(f_{1}\left(x_{1}\right)=y_{1}\)とする。このとき、\(X_{2}=\left\{ x_{1},x_{2}\right\} \supseteq X_{1}\)として、\(f_{2}\)を\(f_{1}\)の始域を\(X_{2}\)に拡張したものとすると、\(f_{2}:X_{2}\rightarrow Y\)は\(f_{2}\left(x_{1}\right)=y_{1},f_{2}\left(x_{2}\right)=y_{1}\)と\(f_{2}\left(x_{1}\right)=y_{1},f_{2}\left(x_{2}\right)=y_{2}\)の2通りがあるので\(f_{2}\)は一意的に決まらない。
ページ情報
| タイトル | 写像の制限と拡張の定義 |
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直積集合の射影の定義と性質
\[
\pi_{J}:X_{I}\rightarrow X_{J},\left(x_{i}\right)_{i\in I}\mapsto\left(x_{j}\right)_{j\in J}
\]
写像の直和・直積の定義
\[
\left(f_{1}\oplus f_{2}\right)\left(x\right)=\begin{cases}
f_{1}\left(x\right) & x\in X_{1}\setminus X_{2}\\
f_{2}\left(x\right) & x\in X_{2}\setminus X_{1}\\
f_{1}\mid_{X_{1}\cap X_{2}}\left(x\right)=f_{2}\mid_{X_{1}\cap X_{2}}\left(x\right) & x\in X_{1}\cap X_{2}
\end{cases}
\]
写像・対応のグラフの定義
\[
G\left(f\right)=\left\{ \left(x,f\left(x\right)\right)\in X\times Y;x\in X\right\}
\]
写像・対応の相等の定義
\[
f=g
\]