写像・対応の相等の定義
写像\(f:X_{1}\rightarrow Y_{1},g:X_{2}\rightarrow Y_{2}\)または対応\(f:X_{1}\rightarrow Y_{1},g:X_{2}\rightarrow Y_{2}\)があるとき、次の条件全てを満たすとき、\(f\)と\(g\)は等しいといい\(f=g\)と表し、それ以外は\(f\ne g\)で表す。
写像\(f:X_{1}\rightarrow Y_{1},g:X_{2}\rightarrow Y_{2}\)または対応\(f:X_{1}\rightarrow Y_{1},g:X_{2}\rightarrow Y_{2}\)があるとき、次の条件全てを満たすとき、\(f\)と\(g\)は等しいといい\(f=g\)と表し、それ以外は\(f\ne g\)で表す。
(a)始域
\[ X_{1}=X_{2} \](b)終域
\[ Y_{1}=Y_{2} \](c)値の一致
\[ \forall x\in X_{1},f\left(x\right)=g\left(x\right) \](1)
\(X=\left\{ x_{1},x_{2}\right\} ,Y=\left\{ y_{1},y_{2}\right\} \)として、2つの写像\(f_{1}:X\rightarrow Y,f_{2}:X\rightarrow Y\)があり、\(f_{1}\left(x_{1}\right)=f_{2}\left(x_{1}\right)=y_{1},f_{1}\left(x_{2}\right)=f_{2}\left(x_{2}\right)=y_{2}\)とすると、\(f_{1}=f_{2}\)となる。(2)
\(X=\left\{ x_{1},x_{2}\right\} ,Y=\left\{ y_{1},y_{2}\right\} \)として、2つの写像\(f_{1}:X\rightarrow Y,f_{2}:X\rightarrow Y\)があり、\(f_{1}\left(x_{1}\right)=f_{2}\left(x_{2}\right)=y_{2},f_{1}\left(x_{2}\right)=f_{2}\left(x_{1}\right)=y_{1}\)とすると、\(f_{1}\left(x_{1}\right)=y_{2}\ne y_{1}=f_{2}\left(x_{1}\right),f_{1}\left(x_{2}\right)=y_{1}\ne y_{2}=f_{2}\left(x_{2}\right)\)なので\(f_{1}\ne f_{2}\)となる。(3)
2つの写像\(f_{1}:\left\{ x_{1}\right\} \rightarrow\left\{ y_{1}\right\} ,f_{2}:\left\{ x_{1},x_{2}\right\} \rightarrow\left\{ y_{1}\right\} \)があるとき、始域が\(\left\{ x_{1}\right\} \ne\left\{ x_{1},x_{2}\right\} \)なので、\(f_{1}\ne f_{2}\)となる。(4)
2つの写像\(f_{1}:\left\{ x_{1}\right\} \rightarrow\left\{ y_{1}\right\} ,f_{2}:\left\{ x_{1}\right\} \rightarrow\left\{ y_{1},y_{2}\right\} \)があるとき、終域が\(\left\{ y_{1}\right\} \ne\left\{ y_{1},y_{2}\right\} \)なので、\(f_{1}\ne f_{2}\)となる。
ページ情報
| タイトル | 写像・対応の相等の定義 |
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写像と対応の定義
\[
\Def\left(f\right)=\left\{ x\in X;f\left(x\right)\in Y\right\} =X
\]
写像の標準分解
\[
f:X\stackrel{f'}{\longrightarrow}X/R_{f}\stackrel{g}{\longrightarrow}\ran\left(f\right)\stackrel{I_{g}}{\longrightarrow}Y
\]