(1)

\(\Rightarrow\)

\(\left(A\leftrightarrow B\right)\lor C\)は分配法則が成り立ち\(\left(A\leftrightarrow B\right)\lor C\Leftrightarrow A\lor C\leftrightarrow B\lor C\)となるので、
\begin{align*} A\leftrightarrow B & \Rightarrow\left(A\leftrightarrow B\right)\lor C\\ & \Leftrightarrow A\lor C\leftrightarrow B\lor C \end{align*} となる。

\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない。

反例で示す。
\(C\leftrightarrow\top,A\leftrightarrow\bot,B\leftrightarrow\top\)とすると、左辺は偽であるが右辺は真となるので\(\Leftarrow\)が成り立たない。
故に\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない。

-

これらより題意は成り立つ。

(2)

\(\Rightarrow\)

(1)を使う。
\begin{align*} A\leftrightarrow B & \Leftrightarrow\lnot A\leftrightarrow\lnot B\\ & \Rightarrow\left(\lnot A\leftrightarrow\lnot B\right)\lor\lnot C\\ & \Leftrightarrow\lnot A\lor\lnot C\leftrightarrow\lnot B\lor\lnot C\\ & \Leftrightarrow A\land C\leftrightarrow B\land C \end{align*}

\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない。

反例で示す。
\(C\leftrightarrow\bot,A\leftrightarrow\bot,B\leftrightarrow\top\)とすると、左辺は偽であるが右辺は真となるので\(\Leftarrow\)が成り立たない。
故に\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない。

-

これらより題意は成り立つ。

(3)

\(\Rightarrow\)

(1)を使う。
\begin{align*} A\leftrightarrow B & \Leftrightarrow\lnot A\leftrightarrow\lnot B\\ & \Rightarrow\left(\lnot A\leftrightarrow\lnot B\right)\lor C\\ & \Leftrightarrow\lnot A\lor C\leftrightarrow\lnot B\lor C\\ & \Leftrightarrow A\rightarrow C\leftrightarrow B\rightarrow C \end{align*}

\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない。

反例で示す。
\(C\leftrightarrow\top,A\leftrightarrow\bot,B\leftrightarrow\top\)とすると、左辺は偽であるが右辺は真となるので\(\Leftarrow\)が成り立たない。
故に\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない。

-

これらより題意は成り立つ。

(4)

\(\Rightarrow\)

(1)を使う。
\begin{align*} A\leftrightarrow B & \Rightarrow\left(A\leftrightarrow B\right)\lor\lnot C\\ & \Leftrightarrow A\lor\lnot C\leftrightarrow B\lor\lnot C\\ & \Leftrightarrow A\leftarrow C\leftrightarrow B\leftarrow C \end{align*}

\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない。

反例で示す。
\(C\leftrightarrow\bot,A\leftrightarrow\bot,B\leftrightarrow\top\)とすると、左辺は偽であるが右辺は真となるので\(\Leftarrow\)が成り立たない。
故に\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない。

-

これらより題意は成り立つ。

(5)

\(\Rightarrow\)

(1)を使う。
\begin{align*} A\leftrightarrow B & \Rightarrow\left(A\leftrightarrow B\right)\lor C\\ & \Leftrightarrow A\lor C\leftrightarrow B\lor C\\ & \Leftrightarrow A\downarrow C\leftrightarrow B\downarrow C \end{align*}

\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない。

反例で示す。
\(C\leftrightarrow\top,A\leftrightarrow\bot,B\leftrightarrow\top\)とすると、左辺は偽であるが右辺は真となるので\(\Leftarrow\)が成り立たない。
故に\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない。

-

これらより題意は成り立つ。

(6)

\(\Rightarrow\)

(1)を使う。
\begin{align*} A\leftrightarrow B & \Rightarrow\left(A\leftrightarrow B\right)\lor\lnot C\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot A\leftrightarrow\lnot B\right)\lor\lnot C\\ & \Leftrightarrow\lnot A\lor\lnot C\leftrightarrow\lnot B\lor\lnot C\\ & \Leftrightarrow A\uparrow C\leftrightarrow B\uparrow C \end{align*}

\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない。

反例で示す。
\(C\leftrightarrow\bot,A\leftrightarrow\bot,B\leftrightarrow\top\)とすると、左辺は偽であるが右辺は真となるので\(\Leftarrow\)が成り立たない。
故に\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない。

-

これらより題意は成り立つ。

(7)

\(\Rightarrow\)

(1)を使う。
\begin{align*} A\leftrightarrow B & \Rightarrow\left(A\leftrightarrow B\right)\lor C\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot A\leftrightarrow\lnot B\right)\lor C\\ & \Leftrightarrow\lnot A\lor C\leftrightarrow\lnot B\lor C\\ & \Leftrightarrow A\nrightarrow C\leftrightarrow B\nrightarrow C \end{align*}

\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない。

反例で示す。
\(C\leftrightarrow\top,A\leftrightarrow\bot,B\leftrightarrow\top\)とすると、左辺は偽であるが右辺は真となるので\(\Leftarrow\)が成り立たない。
故に\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない。

-

これらより題意は成り立つ。

(8)

\(\Rightarrow\)

(1)を使う。
\begin{align*} A\leftrightarrow B & \Rightarrow\left(A\leftrightarrow B\right)\lor\lnot C\\ & \Leftrightarrow A\lor\lnot C\leftrightarrow B\lor\lnot C\\ & \Leftrightarrow A\nleftarrow C\leftrightarrow B\nleftarrow C \end{align*}

\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない。

反例で示す。
\(C\leftrightarrow\bot,A\leftrightarrow\bot,B\leftrightarrow\top\)とすると、左辺は偽であるが右辺は真となるので\(\Leftarrow\)が成り立たない。
故に\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない。

-

これらより題意は成り立つ。

(9)

\(\Leftarrow\)

(10)を使う。
\begin{align*} A\nleftrightarrow B & \Leftrightarrow\lnot A\nleftrightarrow\lnot B\\ & \Leftarrow\left(\lnot A\nleftrightarrow\lnot B\right)\land\lnot C\\ & \Leftrightarrow\lnot A\land\lnot C\nleftrightarrow\lnot B\land\lnot C\\ & \Leftrightarrow A\lor C\nleftrightarrow B\lor C \end{align*}

\(\Rightarrow\)は一般的に成り立たない。

反例で示す。
\(C\leftrightarrow\top,A\leftrightarrow\bot,B\leftrightarrow\top\)とすると、左辺は真であるが右辺は偽となるので\(\Rightarrow\)が成り立たない。
故に\(\Rightarrow\)は一般的に成り立たない。

-

これらより題意は成り立つ。

(10)

\(\Leftarrow\)

\(\left(A\nleftrightarrow B\right)\lor C\)は分配法則が成り立ち\(\left(A\nleftrightarrow B\right)\land C\Leftrightarrow A\land C\nleftrightarrow B\land C\)となるので、
\begin{align*} A\nleftrightarrow B & \Leftarrow\left(A\nleftrightarrow B\right)\land C\\ & \Leftrightarrow A\land C\nleftrightarrow B\land C \end{align*} となる。

\(\Rightarrow\)は一般的に成り立たない。

反例で示す。
\(C\leftrightarrow\bot,A\leftrightarrow\bot,B\leftrightarrow\top\)とすると、左辺は真であるが右辺は偽となるので\(\Rightarrow\)が成り立たない。
故に\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない。

-

これらより題意は成り立つ。

(11)

\(\Leftarrow\)

(10)を使う。
\begin{align*} A\nleftrightarrow B & \Leftarrow\left(A\nleftrightarrow B\right)\land\lnot C\\ & \Leftrightarrow A\land\lnot C\nleftrightarrow B\land\lnot C\\ & \Leftrightarrow\lnot A\lor C\nleftrightarrow\lnot B\lor C\\ & \Leftrightarrow A\rightarrow C\nleftrightarrow B\rightarrow C \end{align*}

\(\Rightarrow\)は一般的に成り立たない。

反例で示す。
\(C\leftrightarrow\top,A\leftrightarrow\bot,B\leftrightarrow\top\)とすると、左辺は真であるが右辺は偽となるので\(\Rightarrow\)が成り立たない。
故に\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない。

-

これらより題意は成り立つ。

(12)

\(\Leftarrow\)

(1)を使う。
\begin{align*} A\nleftrightarrow B & \Leftrightarrow\lnot A\nleftrightarrow\lnot B\\ & \Leftarrow\left(\lnot A\nleftrightarrow\lnot B\right)\land C\\ & \Leftrightarrow\lnot A\land C\nleftrightarrow\lnot B\land C\\ & \Leftrightarrow A\lor\lnot C\nleftrightarrow B\lor\lnot C\\ & \Leftrightarrow A\leftarrow C\nleftrightarrow B\leftarrow C \end{align*}

\(\Rightarrow\)は一般的に成り立たない。

反例で示す。
\(C\leftrightarrow\bot,A\leftrightarrow\bot,B\leftrightarrow\top\)とすると、左辺は真であるが右辺は偽となるので\(\Rightarrow\)が成り立たない。
故に\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない。

-

これらより題意は成り立つ。

(13)

\(\Leftarrow\)

(10)を使う。
\begin{align*} A\nleftrightarrow B & \Leftrightarrow\lnot A\nleftrightarrow\lnot B\\ & \Leftarrow\left(\lnot A\nleftrightarrow\lnot B\right)\land\lnot C\\ & \Leftrightarrow\lnot A\land\lnot C\nleftrightarrow\lnot B\land\lnot C\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(A\lor C\right)\nleftrightarrow\lnot\left(B\lor C\right)\\ & \Leftrightarrow A\downarrow C\nleftrightarrow B\downarrow C \end{align*}

\(\Rightarrow\)は一般的に成り立たない。

反例で示す。
\(C\leftrightarrow\top,A\leftrightarrow\bot,B\leftrightarrow\top\)とすると、左辺は真であるが右辺は偽となるので\(\Rightarrow\)が成り立たない。
故に\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない。

-

これらより題意は成り立つ。

(14)

\(\Leftarrow\)

(10)を使う。
\begin{align*} A\nleftrightarrow B & \Leftarrow\left(A\nleftrightarrow B\right)\land C\\ & \Leftrightarrow A\land C\nleftrightarrow B\land C\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(A\land C\right)\nleftrightarrow\lnot\left(B\land C\right)\\ & \Leftrightarrow A\uparrow C\leftrightarrow B\uparrow C \end{align*}

\(\Rightarrow\)は一般的に成り立たない。

反例で示す。
\(C\leftrightarrow\bot,A\leftrightarrow\bot,B\leftrightarrow\top\)とすると、左辺は真であるが右辺は偽となるので\(\Rightarrow\)が成り立たない。
故に\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない。

-

これらより題意は成り立つ。

(15)

\(\Leftarrow\)

(10)を使う。
\begin{align*} A\nleftrightarrow B & \Leftarrow\left(A\nleftrightarrow B\right)\land\lnot C\\ & \Leftrightarrow A\land\lnot C\nleftrightarrow B\land\lnot C\\ & \Leftrightarrow A\nrightarrow C\nleftrightarrow B\nrightarrow C \end{align*}

\(\Rightarrow\)は一般的に成り立たない。

反例で示す。
\(C\leftrightarrow\top,A\leftrightarrow\bot,B\leftrightarrow\top\)とすると、左辺は真であるが右辺は偽となるので\(\Rightarrow\)が成り立たない。
故に\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない。

-

これらより題意は成り立つ。

(16)

\(\Leftarrow\)

(10)を使う。
\begin{align*} A\nleftrightarrow B & \Leftrightarrow\lnot A\nleftrightarrow\lnot B\\ & \Leftarrow\left(\lnot A\nleftrightarrow\lnot B\right)\land C\\ & \Leftrightarrow\lnot A\land C\nleftrightarrow\lnot B\land C\\ & \Leftrightarrow A\nleftarrow C\nleftrightarrow B\nleftarrow C \end{align*}

\(\Rightarrow\)は一般的に成り立たない。

反例で示す。
\(C\leftrightarrow\bot,A\leftrightarrow\bot,B\leftrightarrow\top\)とすると、左辺は真であるが右辺は偽となるので\(\Rightarrow\)が成り立たない。
故に\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない。

-

これらより題意は成り立つ。