集合列と和集合・積集合
集合列\(\left(A_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)について、\(n\in\mathbb{N}\)として以下が成り立つ。
\[ \bigcap_{1\leq j<k\leq n}\left(A_{j}\cup A_{k}\right)=\bigcup_{1\leq j\leq n}\bigcap_{1\leq k\leq n,k\ne j}A_{k} \]
集合列\(\left(A_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)について、\(n\in\mathbb{N}\)として以下が成り立つ。
\[ \bigcap_{1\leq j<k\leq n}\left(A_{j}\cup A_{k}\right)=\bigcup_{1\leq j\leq n}\bigcap_{1\leq k\leq n,k\ne j}A_{k} \]
\[
\bigcap_{1\leq j<k\leq2}\left(A_{j}\cup A_{k}\right)=A_{2}\cup A_{1}
\]
\[
\bigcap_{1\leq j<k\leq3}\left(A_{j}\cup A_{k}\right)=\left(A_{2}\cap A_{3}\right)\cup\left(A_{1}\cap A_{3}\right)\cup\left(A_{1}\cap A_{2}\right)
\]
\[
\bigcap_{1\leq j<k\leq4}\left(A_{j}\cup A_{k}\right)=\left(A_{2}\cap A_{3}\cap A_{4}\right)\cup\left(A_{1}\cap A_{3}\cap A_{4}\right)\cup\left(A_{1}\cap A_{2}\cap A_{4}\right)\cup\left(A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\right)
\]
\[
\bigcap_{1\leq j<k\leq5}\left(A_{j}\cup A_{k}\right)=\left(A_{2}\cap A_{3}\cap A_{4}\cap A_{5}\right)\cup\left(A_{1}\cap A_{3}\cap A_{4}\cap A_{5}\right)\cup\left(A_{1}\cap A_{2}\cap A_{4}\cap A_{5}\right)\cup\left(A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap A_{5}\right)\cup\left(A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap A_{4}\right)
\]
\(n=1\)のとき
\(n=1\)のとき、与式左辺は、\[ \bigcap_{1\leq j<k\leq1}\left(A_{j}\cup A_{k}\right)=X \] となり右辺は、
\begin{align*} \bigcup_{1\leq j\leq1}\bigcap_{1\leq k\leq1,k\ne j}A_{k} & =\bigcap_{1\leq k\leq1,k\ne1}A_{k}\\ & =X \end{align*} となるので、成り立つ。
\(n=m+1\)のとき
\(\bigcap_{1\leq k\leq m,k\ne j}A_{k}\)は\(m\)について単調減少である。\(n=m\)のときに成り立つと仮定すると、
\begin{align*} \bigcap_{1\leq j<k\leq m+1}\left(A_{j}\cup A_{k}\right) & =\bigcap_{1\leq j<k\leq m}\left(A_{j}\cup A_{k}\right)\cap\bigcap_{1\leq j<k=m+1}\left(A_{j}\cup A_{m+1}\right)\\ & =\bigcup_{1\leq j\leq m}\bigcap_{1\leq k\leq m,k\ne j}A_{k}\cap\left\{ \left(\bigcap_{1\leq j\leq m}A_{j}\right)\cup A_{m+1}\right\} \\ & =\left\{ \left(\bigcup_{1\leq j\leq m}\bigcap_{1\leq k\leq m,k\ne j}A_{k}\right)\cap\left(\bigcap_{1\leq j\leq m}A_{j}\right)\right\} \cup\left\{ \left(\bigcup_{1\leq j\leq m}\bigcap_{1\leq k\leq m,k\ne j}A_{k}\right)\cap A_{m+1}\right\} \\ & =\left(\bigcap_{1\leq j\leq m}A_{j}\right)\cup\left\{ \left(\bigcup_{1\leq j\leq m}\bigcap_{1\leq k\leq m,k\ne j}A_{k}\right)\cap A_{m+1}\right\} \cmt{\because\left(\bigcap_{1\leq j\leq m}A_{j}\right)\subseteq\left(\bigcup_{1\leq j\leq m}\bigcap_{1\leq k\leq m,k\ne j}A_{k}\right)}\\ & =\left(\bigcap_{1\leq j\leq m}A_{j}\right)\cup\left\{ \left(\bigcup_{1\leq j\leq m}\bigcap_{1\leq k\leq m,k\ne j}A_{k}\right)\cap\left(\bigcup_{1\leq j\leq m}\bigcap_{k=m+1,k\ne j}A_{k}\right)\right\} \\ & =\left(\bigcap_{1\leq j\leq m}A_{j}\right)\cup\left\{ \bigcup_{1\leq j\leq m}\left(\bigcap_{1\leq k\leq m,k\ne j}A_{k}\cap\bigcap_{k=m+1,k\ne j}A_{k}\right)\right\} \\ & =\left(\bigcap_{1\leq k\leq m+1,k\ne m+1}A_{k}\right)\cup\left\{ \bigcup_{1\leq j\leq m}\bigcap_{1\leq k\leq m+1,k\ne j}A_{k}\right\} \\ & =\left(\bigcup_{j=m+1}^{m+1}\bigcap_{1\leq k\leq m+1,k\ne j}A_{k}\right)\cup\left\{ \bigcup_{1\leq j\leq m}\bigcap_{1\leq k\leq m+1,k\ne j}A_{k}\right\} \\ & =\bigcup_{1\leq j\leq m+1}\bigcap_{1\leq k\leq m+1,k\ne j}A_{k} \end{align*} となるので\(n=m+1\)でも成り立つ。
途中で
\begin{align*} \left(\bigcap_{1\leq j\leq m}A_{j}\right) & \subseteq\bigcap_{1\leq k\leq m,k\ne j}A_{k}\\ & \subseteq\left(\bigcup_{1\leq j\leq m}\bigcap_{1\leq k\leq m,k\ne j}A_{k}\right) \end{align*} を使った。
-
故に数学帰納法より、題意は成り立つ。
ページ情報
| タイトル | 集合列と和集合・積集合 |
| URL | https://www.nomuramath.com/cx5kxik6/ |
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単調増加列・単調減少列同士の積集合と和集合
\[
A_{k}\nearrow_{k\in\mathbb{N}},B_{k}\nearrow_{k\in\mathbb{N}}\Rightarrow\bigcup_{k=1}^{\infty}\left(A_{k}\cap B_{k}\right)=\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}\cap\bigcup_{k=1}^{\infty}B_{k}
\]
集合列の和集合と積集合の包含関係
\[
\forall m,n\in\mathbb{N},\bigcap_{k=m}^{\infty}A_{k}\subseteq\bigcup_{k=n}^{\infty}A_{k}
\]
2つの集合族同士の演算
\[
\left(\prod_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\cap\left(\prod_{\mu\in\Lambda}B_{\mu}\right)=\prod_{\lambda\in\Lambda}\left(A_{\lambda}\cap B_{\lambda}\right)
\]
和集合・積集合の元とそれぞれの集合との関係
\[
a\in\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\Leftrightarrow\bigvee_{\lambda\in\Lambda}a\in A_{\lambda}
\]