集合列の和集合と積集合の包含関係
集合列\(\left(A_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)があるとき、任意の自然数\(m,n\in\mathbb{N}\)に対し、
\[ \bigcap_{k=m}^{\infty}A_{k}\subseteq\bigcup_{k=n}^{\infty}A_{k} \] が成り立つ。
集合列\(\left(A_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)があるとき、任意の自然数\(m,n\in\mathbb{N}\)に対し、
\[ \bigcap_{k=m}^{\infty}A_{k}\subseteq\bigcup_{k=n}^{\infty}A_{k} \] が成り立つ。
\(m\leq n\)のとき
\begin{align*} \bigcap_{k=m}^{\infty}A_{k} & =\bigcap_{k=m}^{n-1}A_{k}\cap\bigcap_{k=n}^{\infty}A_{k}\\ & \subseteq\bigcap_{k=n}^{\infty}A_{k}\\ & \subseteq A_{n}\\ & \subseteq\bigcup_{k=n}^{\infty}A_{k} \end{align*}\(n\leq m\)のとき
\begin{align*} \bigcap_{k=m}^{\infty}A_{k} & \subseteq A_{m}\\ & \subseteq\bigcup_{k=m}^{\infty}A_{k}\\ & \subseteq\bigcup_{k=n}^{m-1}A_{k}\cup\bigcup_{k=m}^{\infty}A_{k}\\ & =\bigcup_{k=n}^{\infty}A_{k} \end{align*}-
これらより、\(m\leq n\)のときも\(n\leq m\)のときも与式は成り立っているので任意の自然数\(m,n\in\mathbb{N}\)に対し、\[ \bigcap_{k=m}^{\infty}A_{k}\subseteq\bigcup_{k=n}^{\infty}A_{k} \] が成り立つ。
ページ情報
| タイトル | 集合列の和集合と積集合の包含関係 |
| URL | https://www.nomuramath.com/cv1l30ez/ |
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集合列と非交和
\[
\bigcup_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }A_{k}=\bigsqcup_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\left(A_{k}\setminus\bigcup_{j=1}^{k-1}A_{j}\right)
\]
集合列と和集合・積集合
\[
\bigcap_{1\leq j<k\leq n}\left(A_{j}\cup A_{k}\right)=\bigcup_{1\leq j\leq n}\bigcap_{1\leq k\leq n,k\ne j}A_{k}
\]
単調増加列・単調減少列同士の積集合と和集合
\[
A_{k}\nearrow_{k\in\mathbb{N}},B_{k}\nearrow_{k\in\mathbb{N}}\Rightarrow\bigcup_{k=1}^{\infty}\left(A_{k}\cap B_{k}\right)=\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}\cap\bigcup_{k=1}^{\infty}B_{k}
\]
2つの集合族同士の演算
\[
\left(\prod_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\cap\left(\prod_{\mu\in\Lambda}B_{\mu}\right)=\prod_{\lambda\in\Lambda}\left(A_{\lambda}\cap B_{\lambda}\right)
\]