(1)

\(a\in\mathbb{C}\)として、
\[ A=\left(\begin{array}{cc} a & 0\\ 0 & a \end{array}\right) \] とすると、固有方程式は\(0=\det\left(\lambda I-A\right)=\left(\lambda-a\right)^{2}\)となるので固有値は\(\lambda=a\)で2重解となる。
このときの広義固有空間\(\widetilde{W}\left(a\right)\)は
\begin{align*} \ker\left(A-aI\right) & =\ker\left(\left(\begin{array}{cc} a & 0\\ 0 & a \end{array}\right)-a\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array}\right)\right)\\ & =\ker\left(\begin{array}{cc} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{array}\right)\\ & =c_{1}\left(\begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array}\right)+c_{2}\left(\begin{array}{c} 0\\ 1 \end{array}\right) \end{align*} \begin{align*} \ker\left(\left(A-aI\right)^{2}\right) & =\ker\left(\left(\left(\begin{array}{cc} a & 0\\ 0 & a \end{array}\right)-a\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array}\right)\right)^{2}\right)\\ & =\ker\left(\left(\begin{array}{cc} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{array}\right)^{2}\right)\\ & =\ker\left(\begin{array}{cc} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{array}\right)\\ & =\left\langle \left(1,0\right)^{T},\left(0,1\right)^{T}\right\rangle \end{align*} となるので、\(\dim\ker\left(A-aI\right)=2,\dim\ker\left(\left(A-aI\right)^{2}\right)=2\)で重解度と一致するのは\(\dim\ker\left(A-aI\right)\)なので、
\[ \widetilde{W}\left(a\right)=\left\langle \left(1,0\right)^{T},\left(0,1\right)^{T}\right\rangle \] となる。
広義固有空間の元\(\left(1,0\right)^{T}\in\widetilde{W}\left(a\right)\)の広義固有ベクトルの階数は、
\begin{align*} \boldsymbol{0} & =\left(A-aI\right)^{m}\left(\begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array}\right)\\ & =O^{m}\left(\begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array}\right) \end{align*} を満たす最小の\(m\in\mathbb{N}_{0}\)は\(m=1\)なので、\(\left(1,0\right)^{T}\)は1階の広義固有ベクトルになる。
同様に\(\left(0,1\right)^{T}\in\widetilde{W}\left(a\right)\)も1階の広義固有ベクトルになる。
また、\(\left(0,0\right)^{T}\in\widetilde{W}\left(a\right)\)は0階の広義固有ベクトルになる。

(2)

\(a\in\mathbb{C}\setminus\left\{ 0\right\} \)として、
\[ A=\left(\begin{array}{cc} 0 & a\\ 0 & 0 \end{array}\right) \] とすると、固有方程式は\(0=\det\left(\lambda I-aA\right)=\lambda^{2}\)となるので固有値は\(\lambda=0\)で2重解となる。
このときの広義固有空間\(\widetilde{W}\left(0\right)\)は
\begin{align*} \ker\left(A-0I\right) & =\ker\left(\left(\begin{array}{cc} 0 & a\\ 0 & 0 \end{array}\right)-0\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array}\right)\right)\\ & =\ker\left(\begin{array}{cc} 0 & a\\ 0 & 0 \end{array}\right)\\ & =\left\langle \left(1,0\right)^{T}\right\rangle \end{align*} \begin{align*} \ker\left(\left(A-0I\right)^{2}\right) & =\ker\left(\left(\left(\begin{array}{cc} 0 & a\\ 0 & 0 \end{array}\right)-0\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array}\right)\right)^{2}\right)\\ & =\ker\left(\left(\begin{array}{cc} 0 & a\\ 0 & 0 \end{array}\right)^{2}\right)\\ & =\ker\left(\begin{array}{cc} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{array}\right)\\ & =\left\langle \left(1,0\right)^{T},\left(0,1\right)^{T}\right\rangle \end{align*} となり、\(\dim\ker\left(A-0I\right)=1\ne2,\dim\ker\left(\left(A-0I\right)^{2}\right)=2\)で重解度と一致するのは\(\dim\ker\left(\left(A-0I\right)^{2}\right)\)なので、
\[ \widetilde{W}\left(0\right)=\left\langle \left(1,0\right)^{T},\left(0,1\right)^{T}\right\rangle \] となる。
広義固有空間の元\(\left(1,0\right)^{T}\in\widetilde{W}\left(0\right)\)の広義固有ベクトルの階数は、
\begin{align*} \boldsymbol{0} & =\left(A-0I\right)^{m}\left(\begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} 0 & a\\ 0 & 0 \end{array}\right)^{m}\left(\begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array}\right) \end{align*} を満たす最小の\(m\in\mathbb{N}_{0}\)は\(m=1\)なので、\(\left(1,0\right)^{T}\)は1階の広義固有ベクトルになる。
広義固有空間の元\(\left(0,1\right)^{T}\in\widetilde{W}\left(0\right)\)の広義固有ベクトルの階数は、
\begin{align*} \boldsymbol{0} & =\left(A-0I\right)^{m}\left(\begin{array}{c} 0\\ 1 \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} 0 & a\\ 0 & 0 \end{array}\right)^{m}\left(\begin{array}{c} 0\\ 1 \end{array}\right) \end{align*} を満たす最小の\(m\in\mathbb{N}_{0}\)は\(m=2\)なので、\(\left(0,1\right)^{T}\)は2階の広義固有ベクトルになる。
また、広義固有空間の元\(\left(1,1\right)^{T}\in\widetilde{W}\left(0\right)\)の広義固有ベクトルの階数は2となる。

(3)

\(a,b\in\mathbb{C}\setminus\left\{ 0\right\} \)として、
\[ A=\left(\begin{array}{ccc} 0 & a & 0\\ 0 & 0 & b\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \] とすると、固有方程式は\(0=\det\left(\lambda I-A\right)=\lambda^{3}\)となるので固有値は\(\lambda=0\)で3重解となる。
このときの広義固有空間\(\widetilde{W}\left(0\right)\)は
\begin{align*} \ker\left(A-0I\right) & =\ker\left(\left(\begin{array}{ccc} 0 & a & 0\\ 0 & 0 & b\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)-0\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\right)\\ & =\ker\left(\begin{array}{ccc} 0 & a & 0\\ 0 & 0 & b\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\\ & =\left\langle \left(1,0,0\right)^{T}\right\rangle \end{align*} \begin{align*} \ker\left(\left(A-0I\right)^{2}\right) & =\ker\left(\left(\left(\begin{array}{ccc} 0 & a & 0\\ 0 & 0 & b\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)-0\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\right)^{2}\right)\\ & =\ker\left(\left(\begin{array}{ccc} 0 & a & 0\\ 0 & 0 & b\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)^{2}\right)\\ & =\ker\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & ab\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\\ & =\left\langle \left(1,0,0\right)^{T},\left(0,1,0\right)^{T}\right\rangle \end{align*} \begin{align*} \ker\left(\left(A-0I\right)^{3}\right) & =\ker\left(\left(\left(\begin{array}{ccc} 0 & a & 0\\ 0 & 0 & b\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)-0\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\right)^{3}\right)\\ & =\ker\left(\left(\begin{array}{ccc} 0 & a & 0\\ 0 & 0 & b\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)^{3}\right)\\ & =\ker\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\\ & =\left\langle \left(1,0,0\right)^{T},\left(0,1,0\right)^{T},\left(0,0,0\right)^{T}\right\rangle \end{align*} となり、\(\dim\ker\left(A-0I\right)=1\ne3,\dim\ker\left(\left(A-0I\right)^{2}\right)=2\ne3,\ker\left(\left(A-0I\right)^{3}\right)=3\)で重解度と一致するのは\(\dim\ker\left(\left(A-0I\right)^{3}\right)\)なので、
\[ \widetilde{W}\left(0\right)=\left\langle \left(1,0,0\right)^{T},\left(0,1,0\right)^{T},\left(0,0,0\right)^{T}\right\rangle \] となる。
広義固有空間の元\(\left(1,0,0\right)^{T}\in\widetilde{W}\left(0\right)\)の広義固有ベクトルの階数は、
\begin{align*} \boldsymbol{0} & =\left(A-0I\right)^{m}\left(\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0 \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{ccc} 0 & a & 0\\ 0 & 0 & b\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)^{m}\left(\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0 \end{array}\right) \end{align*} を満たす最小の\(m\in\mathbb{N}_{0}\)は\(m=1\)なので、\(\left(1,0\right)^{T}\)は1階の広義固有ベクトルになる。
広義固有空間の元\(\left(0,1,0\right)^{T}\in\widetilde{W}\left(0\right)\)の広義固有ベクトルの階数は、
\begin{align*} \boldsymbol{0} & =\left(A-0I\right)^{m}\left(\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0 \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{ccc} 0 & a & 0\\ 0 & 0 & b\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)^{m}\left(\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0 \end{array}\right) \end{align*} を満たす最小の\(m\in\mathbb{N}_{0}\)は\(m=2\)なので、\(\left(0,1\right)^{T}\)は2階の広義固有ベクトルになる。
広義固有空間の元\(\left(0,0,1\right)^{T}\in\widetilde{W}\left(0\right)\)の広義固有ベクトルの階数は、
\begin{align*} \boldsymbol{0} & =\left(A-0I\right)^{m}\left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1 \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{ccc} 0 & a & 0\\ 0 & 0 & b\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)^{m}\left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1 \end{array}\right) \end{align*} を満たす最小の\(m\in\mathbb{N}_{0}\)は\(m=3\)なので、\(\left(0,0,1\right)^{T}\)は3階の広義固有ベクトルになる。
また、広義固有空間の元\(\left(1,1,1\right)^{T}\in\widetilde{W}\left(0\right)\)の広義固有ベクトルの階数は3となる。

(4)

\[ A=\left(\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 0 & 1 \end{array}\right) \] とすると、固有方程式は\(0=\det\left(\lambda I-A\right)=\left(\lambda-1\right)^{2}\)となるので固有値は\(\lambda=1\)で2重解となる。
このときの広義固有空間\(\widetilde{W}\left(1\right)\)は
\begin{align*} \ker\left(A-I\right) & =\ker\left(\left(\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 0 & 1 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array}\right)\right)\\ & =\ker\left(\begin{array}{cc} 0 & 2\\ 0 & 0 \end{array}\right)\\ & =\ker\left(\begin{array}{cc} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{array}\right)\\ & =\left\langle \left(1,0\right)^{T}\right\rangle \end{align*} \begin{align*} \ker\left(\left(A-I\right)^{2}\right) & =\ker\left(\left(\left(\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 0 & 1 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array}\right)\right)^{2}\right)\\ & =\ker\left(\left(\begin{array}{cc} 0 & 2\\ 0 & 0 \end{array}\right)^{2}\right)\\ & =\ker\left(\begin{array}{cc} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{array}\right)\\ & =\left\langle \left(1,0\right)^{T},\left(0,1\right)^{T}\right\rangle \end{align*} となり、\(\dim\ker\left(A-I\right)=1\ne2,\dim\ker\left(\left(A-I\right)^{2}\right)=2\)で重解度と一致するのは\(\dim\ker\left(\left(A-I\right)^{2}\right)\)なので、
\[ \widetilde{W}\left(1\right)=\left\langle \left(1,0\right)^{T},\left(0,1\right)^{T}\right\rangle \] となる。
広義固有空間の元\(\left(1,0\right)^{T}\in\widetilde{W}\left(1\right)\)の広義固有ベクトルの階数は、
\begin{align*} \boldsymbol{0} & =\left(A-I\right)^{m}\left(\begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} 0 & 2\\ 0 & 0 \end{array}\right)^{m}\left(\begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array}\right) \end{align*} を満たす最小の\(m\in\mathbb{N}_{0}\)は\(m=1\)なので、\(\left(1,0\right)^{T}\)は1階の広義固有ベクトルになる。
広義固有空間の元\(\left(0,1\right)^{T}\in\widetilde{W}\left(1\right)\)の広義固有ベクトルの階数は、
\begin{align*} \boldsymbol{0} & =\left(A-I\right)^{m}\left(\begin{array}{c} 0\\ 1 \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} 0 & 2\\ 0 & 0 \end{array}\right)^{m}\left(\begin{array}{c} 0\\ 1 \end{array}\right) \end{align*} を満たす最小の\(m\in\mathbb{N}_{0}\)は\(m=2\)なので、\(\left(0,1\right)^{T}\)は2階の広義固有ベクトルになる。
また、広義固有空間の元\(\left(1,1\right)^{T}\in\widetilde{W}\left(1\right)\)の広義固有ベクトルの階数は2となる。

(5)

\[ A=\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ -1 & 3 \end{array}\right) \] とすると、固有方程式は\(0=\det\left(\lambda I-A\right)=\left(\lambda-1\right)\left(\lambda-3\right)-1\left(-1\right)=\lambda^{2}-4\lambda+4=\left(\lambda-2\right)^{2}\)となるので固有値は\(\lambda=2\)で2重解となる。
このときの広義固有空間\(\widetilde{W}\left(2\right)\)は
\begin{align*} \ker\left(A-2I\right) & =\ker\left(\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ -1 & 3 \end{array}\right)-2\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array}\right)\right)\\ & =\ker\left(\begin{array}{cc} -1 & 1\\ -1 & 1 \end{array}\right)\\ & =\ker\left(\begin{array}{cc} 1 & -1\\ 0 & 0 \end{array}\right)\\ & =\left\langle \left(1,1\right)^{T}\right\rangle \end{align*} \begin{align*} \ker\left(\left(A-2I\right)^{2}\right) & =\ker\left(\left(\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ -1 & 3 \end{array}\right)-2\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array}\right)\right)^{2}\right)\\ & =\ker\left(\left(\begin{array}{cc} -1 & 1\\ -1 & 1 \end{array}\right)^{2}\right)\\ & =\ker\left(\begin{array}{cc} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{array}\right)\\ & =\left\langle \left(1,1\right)^{T},\left(1,-1\right)^{T}\right\rangle \end{align*} となり、\(\dim\ker\left(A-2I\right)=1\ne2,\dim\ker\left(\left(A-2I\right)^{2}\right)=2\)で重解度と一致するのは\(\dim\ker\left(\left(A-2I\right)^{2}\right)\)なので、
\[ \widetilde{W}\left(2\right)=\left\langle \left(1,1\right)^{T},\left(1,-1\right)^{T}\right\rangle \] となる。
広義固有空間の元\(\left(1,1\right)^{T}\in\widetilde{W}\left(2\right)\)の広義固有ベクトルの階数は、
\begin{align*} \boldsymbol{0} & =\left(A-2I\right)^{m}\left(\begin{array}{c} 1\\ 1 \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} -1 & 1\\ -1 & 1 \end{array}\right)^{m}\left(\begin{array}{c} 1\\ 1 \end{array}\right) \end{align*} を満たす最小の\(m\in\mathbb{N}_{0}\)は\(m=1\)なので、\(\left(1,0\right)^{T}\)は1階の広義固有ベクトルになる。
広義固有空間の元\(\left(1,-1\right)^{T}\in\widetilde{W}\left(2\right)\)の広義固有ベクトルの階数は、
\begin{align*} \boldsymbol{0} & =\left(A-2I\right)^{m}\left(\begin{array}{c} 1\\ -1 \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} -1 & 1\\ -1 & 1 \end{array}\right)^{m}\left(\begin{array}{c} 1\\ -1 \end{array}\right) \end{align*} を満たす最小の\(m\in\mathbb{N}_{0}\)は\(m=2\)なので、\(\left(1,-1\right)^{T}\)は2階の広義固有ベクトルになる。
また、広義固有空間の元\(\left(1,2\right)^{T}\in\widetilde{W}\left(2\right)\)の広義固有ベクトルの階数は2となる。

(6)

\[ A=\left(\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1 \end{array}\right) \] とすると、固有方程式は
\begin{align*} 0 & =\det\left(\lambda I-A\right)\\ & =\det\left(\lambda\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1 \end{array}\right)\right)\\ & =\det\left(\begin{array}{ccc} \lambda-2 & 0 & 0\\ 0 & \lambda-1 & -1\\ 0 & -1 & \lambda-1 \end{array}\right)\\ & =\left(\lambda-2\right)\left(\left(\lambda-1\right)^{2}-\left(-1\right)^{2}\right)\\ & =\left(\lambda-2\right)\left(\lambda^{2}-2\lambda\right)\\ & =\lambda\left(\lambda-2\right)^{2} \end{align*} となるので固有値は\(\lambda=0\)で1重解となり\(\lambda=2\)で2重解となる。
このときの広義固有空間\(\widetilde{W}\left(0\right)\)は
\begin{align*} \ker\left(A-0I\right) & =\ker A\\ & =\ker\left(\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1 \end{array}\right)\\ & =\ker\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\\ & =\left\langle \left(0,1,-1\right)^{T}\right\rangle \end{align*} となるので、\(\dim\ker\left(A-0I\right)=1\)で重解度と一致するので、
\[ \widetilde{W}\left(0\right)=\left\langle \left(0,1,-1\right)^{T}\right\rangle \] となる。
広義固有空間\(\widetilde{W}\left(2\right)\)は
\begin{align*} \ker\left(A-2I\right) & =\ker\left(\left(\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1 \end{array}\right)-2\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\right)\\ & =\ker\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 1\\ 0 & 1 & -1 \end{array}\right)\\ & =\ker\left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & -1\\ 0 & -1 & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\\ & =\ker\left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\\ & =\left\langle \left(0,1,1\right)^{T}\right\rangle \end{align*} \begin{align*} \ker\left(A-2I\right)^{2} & =\ker\left(\left(\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1 \end{array}\right)-2\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\right)^{2}\\ & =\ker\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 1\\ 0 & 1 & -1 \end{array}\right)^{2}\\ & =\ker\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0\\ 0 & 2 & -2\\ 0 & -2 & 2 \end{array}\right)\\ & =\ker\left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & -1\\ 0 & -1 & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\\ & =\ker\left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\\ & =\left\langle \left(0,1,1\right)^{T},\left(1,0,0\right)^{T}\right\rangle \end{align*} となるので、\(\dim\ker\left(A-2I\right)=1,\dim\ker\left(A-2I\right)^{2}=1\)で重解度と一致するのは\(\dim\ker\left(A-aI\right)^{2}\)なので、
\[ \widetilde{W}\left(2\right)=\left\langle \left(0,1,1\right)^{T},\left(1,0,0\right)^{T}\right\rangle \] となる。
広義固有空間の元\(\left(0,1,1\right)^{T}\in\widetilde{W}\left(0\right)\)の広義固有ベクトルの階数は、
\begin{align*} \boldsymbol{0} & =\left(A-0I\right)^{m}\left(\begin{array}{c} 0\\ 1\\ -1 \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1 \end{array}\right)^{m}\left(\begin{array}{c} 0\\ 1\\ -1 \end{array}\right) \end{align*} を満たす最小の\(m\in\mathbb{N}_{0}\)は\(m=1\)なので、\(\left(0,1,1\right)^{T}\)は1階の広義固有ベクトルになる。
広義固有空間の元\(\left(0,1,1\right)^{T}\in\widetilde{W}\left(2\right)\)の広義固有ベクトルの階数は、
\begin{align*} \boldsymbol{0} & =\left(A-2I\right)^{m}\left(\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 1 \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 1\\ 0 & 1 & -1 \end{array}\right)^{m}\left(\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 1 \end{array}\right) \end{align*} を満たす最小の\(m\in\mathbb{N}_{0}\)は\(m=1\)なので、\(\left(0,1,1\right)^{T}\)は1階の広義固有ベクトルになる。
広義固有空間の元\(\left(1,0,0\right)^{T}\in\widetilde{W}\left(2\right)\)の広義固有ベクトルの階数は、
\begin{align*} \boldsymbol{0} & =\left(A-2I\right)^{m}\left(\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0 \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 1\\ 0 & 1 & -1 \end{array}\right)^{m}\left(\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0 \end{array}\right) \end{align*} を満たす最小の\(m\in\mathbb{N}_{0}\)は\(m=2\)なので、\(\left(1,0,0\right)^{T}\)は2階の広義固有ベクトルになる。