ジョルダン細胞とジョルダン標準形の定義
ジョルダン細胞とジョルダン標準形の定義
ジョルダン細胞とジョルダン標準形を次で定義する。
\[ J_{n}\left(\lambda\right)=\left(\begin{array}{cccccc} \lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0\\ 0 & \lambda & 1 & \ddots & 0 & 0\\ 0 & 0 & \lambda & \ddots & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda & 1\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda \end{array}\right) \] をジョルダン細胞という。
\[ J=\left(\begin{array}{cccc} J_{n_{1}}\left(\lambda_{1}\right) & O & \cdots & O\\ O & J_{n_{2}}\left(\lambda_{2}\right) & \ddots & O\\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\ O & O & \cdots & J_{n_{m}}\left(\lambda_{m}\right) \end{array}\right) \] をジョルダン標準形といい、
\[ J=J_{n_{1}}\left(\lambda_{1}\right)\oplus J_{n_{2}}\left(\lambda_{2}\right)\oplus\cdots\oplus J_{n_{m}}\left(\lambda_{m}\right) \] で表す。
ジョルダン細胞とジョルダン標準形を次で定義する。
(1)ジョルダン細胞
\(n\)次正方行列の対角成分が\(\lambda\)でその上が1であるような行列\[ J_{n}\left(\lambda\right)=\left(\begin{array}{cccccc} \lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0\\ 0 & \lambda & 1 & \ddots & 0 & 0\\ 0 & 0 & \lambda & \ddots & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda & 1\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda \end{array}\right) \] をジョルダン細胞という。
(2)ジョルダン標準形
ジョルダン細胞を用いて\[ J=\left(\begin{array}{cccc} J_{n_{1}}\left(\lambda_{1}\right) & O & \cdots & O\\ O & J_{n_{2}}\left(\lambda_{2}\right) & \ddots & O\\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\ O & O & \cdots & J_{n_{m}}\left(\lambda_{m}\right) \end{array}\right) \] をジョルダン標準形といい、
\[ J=J_{n_{1}}\left(\lambda_{1}\right)\oplus J_{n_{2}}\left(\lambda_{2}\right)\oplus\cdots\oplus J_{n_{m}}\left(\lambda_{m}\right) \] で表す。
ジョルダン細胞\(J_{n}\left(\lambda\right)\)は上3角行列なので固有値は\(\lambda\)で\(n\)重解となる。
ジョルダン標準形の固有値は\(k\in\left\{ 1,2,\cdots,m\right\} \)として\(\lambda_{k}\)が\(n_{k}\)重解となる。
ジョルダン標準形の固有値は\(k\in\left\{ 1,2,\cdots,m\right\} \)として\(\lambda_{k}\)が\(n_{k}\)重解となる。
ジョルダン細胞の例
\[ J_{1}\left(\lambda\right)=\left(\lambda\right) \] \[ J_{2}\left(\lambda\right)=\left(\begin{array}{cc} \lambda & 1\\ 0 & \lambda \end{array}\right) \] \[ J_{3}\left(\lambda\right)=\left(\begin{array}{ccc} \lambda & 1 & 0\\ 0 & \lambda & 1\\ 0 & 0 & \lambda \end{array}\right) \] \[ J_{4}\left(\lambda\right)=\left(\begin{array}{cccc} \lambda & 1 & 0 & 0\\ 0 & \lambda & 1 & 0\\ 0 & 0 & \lambda & 1\\ 0 & 0 & 0 & \lambda \end{array}\right) \] \[ J_{5}\left(\lambda\right)=\left(\begin{array}{ccccc} \lambda & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & \lambda & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & \lambda & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & \lambda & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda \end{array}\right) \]ジョルダン標準形の例
\[ J_{1}\left(1\right)\oplus J_{1}\left(2\right)=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 2 \end{array}\right) \] \[ J_{1}\left(1\right)\oplus J_{1}\left(1\right)=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array}\right) \] \[ J_{2}\left(2\right)\oplus J_{1}\left(3\right)=\left(\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 3 \end{array}\right) \] \[ J_{2}\left(0\right)\oplus J_{1}\left(1\right)=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \] \[ J_{1}\left(2\right)\oplus J_{2}\left(2\right)=\left(\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right) \] \[ J_{2}\left(1\right)\oplus J_{2}\left(3\right)=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 3 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}\right) \] \[ J_{2}\left(0\right)\oplus J_{1}\left(1\right)\oplus J_{1}\left(2\right)=\left(\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}\right) \] \[ J_{1}\left(2\right)\oplus J_{1}\left(2\right)\oplus J_{2}\left(2\right)=\left(\begin{array}{cccc} 2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}\right) \] \[ J_{4}\left(3\right)=\left(\begin{array}{cccc} 3 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 3 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}\right) \] \[ J=\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 2 \end{array}\right)\text{はジョルダン標準形ではない} \]
ページ情報
| タイトル | ジョルダン細胞とジョルダン標準形の定義 |
| URL | https://www.nomuramath.com/kjkqi8pv/ |
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広義固有空間・広義固有ベクトルの性質
\[
\dim\ker\left(\left(\lambda_{k}I-A\right)^{n_{k}}\right)=n_{k}
\]
広義固有空間と広義固有ベクトルの定義
\[
\widetilde{W}\left(\lambda_{k}\right)=\ker\left(\left(A-\lambda_{k}I\right)^{n_{k}}\right)
\]