ジョルダン標準形の例

(1)

\[ A=\left(\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 0 & 1 \end{array}\right) \] のジョルダン標準形を求める。
固有方程式は
\begin{align*} 0 & =\det\left(\lambda I-A\right)\\ & =\det\left(\lambda\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 0 & 1 \end{array}\right)\right)\\ & =\det\left(\begin{array}{cc} \lambda-1 & -2\\ 0 & \lambda-1 \end{array}\right)\\ & =\left(\lambda-1\right)^{2} \end{align*} となるので、固有値は\(1,1\)となる。
固有値\(1\)の広義固有空間は
\begin{align*} \ker\left(A-I\right) & =\ker\left(\left(\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 0 & 1 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array}\right)\right)\\ & =\ker\left(\begin{array}{cc} 0 & 2\\ 0 & 0 \end{array}\right)\\ & =c_{1}\left(\begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array}\right) \end{align*} \begin{align*} \ker\left(\left(A-I\right)^{2}\right) & =\ker\left(\left(\left(\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 0 & 1 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array}\right)\right)^{2}\right)\\ & =\ker\left(\left(\begin{array}{cc} 0 & 2\\ 0 & 0 \end{array}\right)^{2}\right)\\ & =\ker\left(\begin{array}{cc} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{array}\right)\\ & =c_{1}\left(\begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array}\right)+c_{2}\left(\begin{array}{c} 0\\ 1 \end{array}\right) \end{align*} となる。
1階の広義固有ベクトルは\(\boldsymbol{p}_{1}=\left(1,0\right)^{T}\)を選ぶと、2階の広義固有ベクトルは
\[ \begin{cases} \left(A-I\right)^{2}\boldsymbol{x}=0\\ \left(A-I\right)\boldsymbol{x}\ne0 \end{cases} \] を満たす\(\boldsymbol{x}\)なので、
\begin{align*} \left(A-I\right)\boldsymbol{x} & =\boldsymbol{p}_{1}\\ & =\left(\begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array}\right) \end{align*} を満たす\(\boldsymbol{x}\)となる。
これより、
\begin{align*} \left(\begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array}\right) & =\left(A-I\right)\boldsymbol{x}\\ & =\left(\left(\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 0 & 1 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array}\right)\right)\boldsymbol{x}\\ & =\left(\begin{array}{cc} 0 & 2\\ 0 & 0 \end{array}\right)\boldsymbol{x} \end{align*} となり、拡大係数行列は
\[ \left(\begin{array}{cc|c} 0 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\rightarrow\left(\begin{array}{cc|c} 0 & 1 & \frac{1}{2}\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \] となるので、2階の広義固有ベクトルは\(\boldsymbol{p}_{2}=\left(0,\frac{1}{2}\right)^{T}\)を選ぶ。
これらより、
\[ \begin{cases} \boldsymbol{p}_{1}=\left(1,0\right)^{T}\\ \boldsymbol{p}_{2}=\left(0,\frac{1}{2}\right)^{T} \end{cases} \] \[ \begin{cases} \left(A-I\right)\boldsymbol{p}_{1}=\boldsymbol{0}\\ \left(A-I\right)\boldsymbol{p}_{2}=\boldsymbol{p}_{1} \end{cases} \] となり、
\begin{align*} A\left(\begin{array}{cc} \boldsymbol{p}_{1} & \boldsymbol{p}_{2}\end{array}\right) & =\left(\begin{array}{cc} \boldsymbol{p}_{1} & \boldsymbol{p}_{1}+\boldsymbol{p}_{2}\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} \boldsymbol{p}_{1} & \boldsymbol{p}_{2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{array}\right) \end{align*} となるので、
\begin{align*} \left(\begin{array}{cc} \boldsymbol{p}_{1} & \boldsymbol{p}_{2}\end{array}\right)^{-1}A\left(\begin{array}{cc} \boldsymbol{p}_{1} & \boldsymbol{p}_{2}\end{array}\right) & =\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{array}\right)\\ & =J_{2}\left(1\right) \end{align*} となり、ジョルダン標準形となる。
\(J_{2}\left(1\right)\)はジョルダン細胞であり、2は代数的重複度で1は固有値である。

(2)

ジョルダン標準形の例
\[ A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \] のジョルダン標準形を求める。
固有方程式は
\begin{align*} 0 & =\det\left(\lambda I-A\right)\\ & =\det\left(\lambda\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\right)\\ & =\det\left(\begin{array}{ccc} \lambda-1 & 0 & 1\\ 1 & \lambda-1 & 0\\ 0 & 0 & \lambda-1 \end{array}\right)\\ & =\left(\lambda-1\right)^{3} \end{align*} となるので、固有値は\(1,1,1\)となる。
固有値\(1\)の広義固有空間は
\begin{align*} \ker\left(A-\lambda\right) & =\ker\left(\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\right)\\ & =\ker\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\\ & =c_{1}\left(\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0 \end{array}\right)+c_{2}\left(\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0 \end{array}\right) \end{align*} \begin{align*} \ker\left(\left(A-I\right)^{2}\right) & =\ker\left(\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)^{2}\right)\\ & =\ker\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\\ & =c_{1}\left(\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0 \end{array}\right)+c_{2}\left(\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0 \end{array}\right)+c_{3}\left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1 \end{array}\right) \end{align*} となる。
1階の広義固有ベクトルは独立なものが2つあるので2階の広義固有ベクトル\(\boldsymbol{p}_{3}\)を\(c_{1}\left(1,0,0\right)^{T}+c_{2}\left(0,1,0\right)^{T}\)と直交する\(\boldsymbol{p}_{3}=\left(0,0,1\right)^{T}\)として、\(\left(A-I\right)\boldsymbol{p}_{3}=\boldsymbol{p}_{2}\)を満たす1階の広義固有ベクトル\(\boldsymbol{p}_{2}\)を求めると、
\begin{align*} \boldsymbol{p}_{2} & =\left(A-I\right)\boldsymbol{p}_{3}\\ & =\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1 \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0 \end{array}\right) \end{align*} となる。
残りの1階の広義固有ベクトル\(\boldsymbol{p}_{1}\)は\(\boldsymbol{p}_{2}\)と直交するように\(\boldsymbol{p}_{1}=\left(0,1,0\right)^{T}\)とする。
これらより、
\[ \begin{cases} \boldsymbol{p}_{1}=\left(0,1,0\right)^{T}\\ \boldsymbol{p}_{2}=\left(1,0,0\right)^{T}\\ \boldsymbol{p}_{3}=\left(0,0,1\right)^{T} \end{cases} \] \[ \begin{cases} \left(A-I\right)\boldsymbol{p}_{1}=\boldsymbol{0}\\ \left(A-I\right)\boldsymbol{p}_{2}=\boldsymbol{0}\\ \left(A-I\right)\boldsymbol{p}_{3}=\boldsymbol{p}_{2} \end{cases} \] となり、
\begin{align*} A\left(\begin{array}{ccc} \boldsymbol{p}_{1} & \boldsymbol{p}_{2} & \boldsymbol{p}_{3}\end{array}\right) & =\left(\begin{array}{ccc} \boldsymbol{p}_{1} & \boldsymbol{p}_{2} & \boldsymbol{p}_{2}+\boldsymbol{p}_{3}\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{ccc} \boldsymbol{p}_{1} & \boldsymbol{p}_{2} & \boldsymbol{p}_{3}\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \end{align*} となるので、
\begin{align*} \left(\begin{array}{ccc} \boldsymbol{p}_{1} & \boldsymbol{p}_{2} & \boldsymbol{p}_{3}\end{array}\right)^{-1}A\left(\begin{array}{ccc} \boldsymbol{p}_{1} & \boldsymbol{p}_{2} & \boldsymbol{p}_{3}\end{array}\right) & =\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\\ & =J_{1}\left(1\right)\oplus J_{2}\left(1\right) \end{align*} となり、ジョルダン標準形となる。
\(J_{1}\left(1\right),J_{2}\left(1\right)\)はジョルダン細胞であり、\(J_{1}\left(1\right)\)の1は代数的重複度で1は固有値、\(J_{2}\left(1\right)\)の2は代数的重複度で1は固有値である。

(3)

ジョルダン標準形の例
\[ A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \] のジョルダン標準形を求める。
固有方程式は
\begin{align*} 0 & =\det\left(\lambda I-A\right)\\ & =\det\left(\lambda\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\right)\\ & =\det\left(\begin{array}{ccc} \lambda-1 & 1 & 1\\ 1 & \lambda-1 & 1\\ 0 & 0 & \lambda-1 \end{array}\right)\\ & =\left(\lambda-1\right)^{3} \end{align*} となるので、固有値は\(1,1,1\)となる。
固有値\(1\)の広義固有空間は
\begin{align*} \ker\left(A-\lambda\right) & =\ker\left(\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\right)\\ & =\ker\left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\\ & =\ker\left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\\ & =c_{1}\left(\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0 \end{array}\right) \end{align*} \begin{align*} \ker\left(\left(A-I\right)^{2}\right) & =\ker\left(\left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)^{2}\right)\\ & =\ker\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\\ & =c_{1}\left(\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0 \end{array}\right)+c_{2}\left(\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0 \end{array}\right) \end{align*} \begin{align*} \ker\left(\left(A-I\right)^{3}\right) & =\ker\left(\left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)^{3}\right)\\ & =\ker\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\\ & =c_{1}\left(\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0 \end{array}\right)+c_{2}\left(\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0 \end{array}\right)+c_{3}\left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1 \end{array}\right) \end{align*} となる。
1階の広義固有ベクトルは\(\boldsymbol{p}_{1}=\left(1,0,0\right)^{T}\)を選ぶと、2階の広義固有ベクトルは
\[ \begin{cases} \left(A-I\right)^{2}\boldsymbol{x}=0\\ \left(A-I\right)\boldsymbol{x}\ne0 \end{cases} \] を満たす\(\boldsymbol{x}\)なので、\(\left(A-I\right)\boldsymbol{p}_{2}=\boldsymbol{p}_{1}\)を満たす\(\boldsymbol{p}_{2}\)を選ぶ。
そうすると、
\begin{align*} \left(\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0 \end{array}\right) & =\left(A-I\right)\boldsymbol{p}_{2}\\ & =\left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\boldsymbol{p}_{2} \end{align*} なので、拡大係数行列は、
\[ \left(\begin{array}{ccc|c} 0 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\rightarrow\left(\begin{array}{ccc|c} 0 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \] となるので、\(\boldsymbol{p}_{2}=\left(0,1,0\right)^{T}\)とする。
3階の広義固有ベクトルは
\[ \begin{cases} \left(A-I\right)^{3}\boldsymbol{x}=0\\ \left(A-I\right)^{2}\boldsymbol{x}\ne0 \end{cases} \] を満たす\(\boldsymbol{x}\)なので、\(\left(A-I\right)\boldsymbol{p}_{3}=\boldsymbol{p}_{2}\)を満たす\(\boldsymbol{p}_{3}\)を選ぶ。
そうすると、
\begin{align*} \left(\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0 \end{array}\right) & =\boldsymbol{p}_{2}\\ & =\left(A-I\right)\boldsymbol{p}_{3}\\ & =\left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\boldsymbol{p}_{3} \end{align*} なので、拡大係数行列は、
\[ \left(\begin{array}{ccc|c} 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\rightarrow\left(\begin{array}{ccc|c} 0 & 1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \] となるので、\(\boldsymbol{p}_{3}=\left(0,-1,1\right)^{T}\)とする。
これらより、
\[ \begin{cases} \boldsymbol{p}_{1}=\left(1,0,0\right)^{T}\\ \boldsymbol{p}_{2}=\left(0,1,0\right)^{T}\\ \boldsymbol{p}_{3}=\left(0,-1,1\right)^{T} \end{cases} \] \[ \begin{cases} \left(A-I\right)\boldsymbol{p}_{1}=\boldsymbol{0}\\ \left(A-I\right)\boldsymbol{p}_{2}=\boldsymbol{p}_{1}\\ \left(A-I\right)\boldsymbol{p}_{3}=\boldsymbol{p}_{2} \end{cases} \] となり、
\begin{align*} A\left(\begin{array}{ccc} \boldsymbol{p}_{1} & \boldsymbol{p}_{2} & \boldsymbol{p}_{3}\end{array}\right) & =\left(\begin{array}{ccc} \boldsymbol{p}_{1} & \boldsymbol{p}_{1}+\boldsymbol{p}_{2} & \boldsymbol{p}_{2}+\boldsymbol{p}_{3}\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{ccc} \boldsymbol{p}_{1} & \boldsymbol{p}_{2} & \boldsymbol{p}_{3}\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \end{align*} となるので、
\begin{align*} \left(\begin{array}{ccc} \boldsymbol{p}_{1} & \boldsymbol{p}_{2} & \boldsymbol{p}_{3}\end{array}\right)^{-1}A\left(\begin{array}{ccc} \boldsymbol{p}_{1} & \boldsymbol{p}_{2} & \boldsymbol{p}_{3}\end{array}\right) & =\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\\ & =J_{3}\left(1\right) \end{align*} となり、ジョルダン標準形となる。
\(J_{3}\left(1\right)\)はジョルダン細胞であり、\(J_{3}\left(1\right)\)の3は代数的重複度で1は固有値である。