4元数のパウリ表示
4元数のパウリ表示
\(k\in\left\{ 1,2,3\right\} \)に対し、
\[ e_{k}=-i\sigma_{k} \] とおくと、\(I_{2},e_{1},e_{2},e_{3}\)は4元数の基底となる。
\(k\in\left\{ 1,2,3\right\} \)に対し、
\[ e_{k}=-i\sigma_{k} \] とおくと、\(I_{2},e_{1},e_{2},e_{3}\)は4元数の基底となる。
\begin{align*}
e_{1}e_{2} & =\left(-i\sigma_{1}\right)\left(-i\sigma_{2}\right)\\
& =-\sigma_{1}\sigma_{2}\\
& =-i\sigma_{3}\\
& =e_{3}
\end{align*}
\begin{align*}
\left(e_{1}\right)^{2} & =\left(-i\sigma_{1}\right)^{2}\\
& =-\sigma_{1}^{2}\\
& =-I
\end{align*}
\(j,k\in\left\{ 1,2,3\right\} \)に対し、
\[ \sigma_{j}\sigma_{k}=I\delta_{jk}+i\sum_{l=1}^{3}\epsilon_{jkl}\sigma_{l} \] なので、
\begin{align*} e_{j}e_{j} & =\left(-i\sigma_{j}\right)\left(-i\sigma_{j}\right)\\ & =-\sigma_{j}\sigma_{j}\\ & =-\left(\delta_{jj}I_{2}+i\sum_{l=1}^{3}\epsilon_{jjl}\sigma_{l}\right)\\ & =-I_{2} \end{align*} \begin{align*} e_{1}e_{2}e_{3} & =\left(-i\sigma_{1}\right)\left(-i\sigma_{2}\right)\left(-i\sigma_{3}\right)\\ & =i\sigma_{1}\sigma_{2}\sigma_{3}\\ & =i\left(i\sigma_{3}\right)\sigma_{3}\\ & =-\sigma_{3}^{2}\\ & =-I_{2} \end{align*} となるので、
\[ e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=e_{3}^{2}=e_{1}e_{2}e_{3}=-I_{2} \] となるので、\(e_{1},e_{2},e_{3}\)に単位行列\(I_{2}\)を追加すると4元数の基底となる。
\[ \sigma_{j}\sigma_{k}=I\delta_{jk}+i\sum_{l=1}^{3}\epsilon_{jkl}\sigma_{l} \] なので、
\begin{align*} e_{j}e_{j} & =\left(-i\sigma_{j}\right)\left(-i\sigma_{j}\right)\\ & =-\sigma_{j}\sigma_{j}\\ & =-\left(\delta_{jj}I_{2}+i\sum_{l=1}^{3}\epsilon_{jjl}\sigma_{l}\right)\\ & =-I_{2} \end{align*} \begin{align*} e_{1}e_{2}e_{3} & =\left(-i\sigma_{1}\right)\left(-i\sigma_{2}\right)\left(-i\sigma_{3}\right)\\ & =i\sigma_{1}\sigma_{2}\sigma_{3}\\ & =i\left(i\sigma_{3}\right)\sigma_{3}\\ & =-\sigma_{3}^{2}\\ & =-I_{2} \end{align*} となるので、
\[ e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=e_{3}^{2}=e_{1}e_{2}e_{3}=-I_{2} \] となるので、\(e_{1},e_{2},e_{3}\)に単位行列\(I_{2}\)を追加すると4元数の基底となる。
ページ情報
| タイトル | 4元数のパウリ表示 |
| URL | https://www.nomuramath.com/lcphgmkc/ |
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パウリ行列によるガンマ行列のディラック表示
\[
\begin{cases}
\gamma^{0}=\sigma_{3}\otimes I_{2}\\
\gamma^{j}=i\sigma_{2}\otimes\sigma_{j}
\end{cases}
\]
パウリ行列の定義と性質
\[
\sigma_{j}\sigma_{k}=I\delta_{jk}+i\sum_{l=1}^{3}\epsilon_{jkl}\sigma_{l}
\]
エルミート形式・2次形式
\[
f\left(\boldsymbol{x}\right)=\boldsymbol{x}^{*}A\boldsymbol{x}
\]
恒等的に成り立つ行列
\[
A=B\Leftrightarrow\forall\boldsymbol{x}\in K^{n},A\boldsymbol{x}=B\boldsymbol{x}
\]