有限集合で距離化可能なのは離散位相のみ
有限集合で距離化可能なのは離散位相のみ
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)が有限集合とする。
このとき、距離化可能と離散位相は同値である。
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)が有限集合とする。
このとき、距離化可能と離散位相は同値である。
\(\Rightarrow\)
対偶で示す。離散位相でないならば距離化不可能であることを示せばいい。
任意の元\(x\in X\)について1点集合\(\left\{ x\right\} \)が開集合ならば、任意の部分集合\(A\subseteq X\)についても\(A=\bigcup_{x\in A}\left\{ x\right\} \)と開集合の和集合で表せるので開集合となり離散位相となる。
これより、離散位相でないためにはある1点集合\(\left\{ a\right\} \)が開集合ではない必要がある。
このとき、距離化可能であると仮定する。
\(\epsilon=\frac{1}{2}\inf\left\{ d\left(a,b\right);b\in X\right\} \)とすると、\(\forall y\in\left\{ a\right\} ,U_{\epsilon}\left(y\right)=\left\{ a\right\} \subseteq\left\{ a\right\} \)となるので\(\left\{ a\right\} \)は開集合となる。
従って矛盾となるので、背理法より距離化不可能であることになる。
故に離散位相でないならば距離化不可能となり、元の題意の対偶が示される。
\(\Leftarrow\)
離散位相であるので離散距離空間\(\left(X,d\right)\)によって距離化可能である。ページ情報
タイトル | 有限集合で距離化可能なのは離散位相のみ |
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集合同士が交わるならば距離は0
\[
A\cap B\ne\emptyset\Rightarrow d\left(A,B\right)=0
\]
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距離空間$\left(X,d\right)$で空集合$\emptyset$と全体集合$X$はどちらも開集合かつ閉集合となる。
点と集合との距離の関係
\[
d\left(x,A\right)=0\Leftrightarrow x\in A^{a}
\]
ε近傍(開球)の定義
\[
U\left(a,\epsilon\right)=\left\{ x\in X;d\left(a,x\right)<\epsilon\right\}
\]