有限集合で距離化可能なのは離散位相のみ

\(\Rightarrow\)

対偶で示す。
離散位相でないならば距離化不可能であることを示せばいい。
任意の元\(x\in X\)について1点集合\(\left\{ x\right\} \)が開集合ならば、任意の部分集合\(A\subseteq X\)についても\(A=\bigcup_{x\in A}\left\{ x\right\} \)と開集合の和集合で表せるので開集合となり離散位相となる。
これより、離散位相でないためにはある1点集合\(\left\{ a\right\} \)が開集合ではない必要がある。
このとき、距離化可能であると仮定する。
\(\epsilon=\frac{1}{2}\inf\left\{ d\left(a,b\right);b\in X\right\} \)とすると、\(\forall y\in\left\{ a\right\} ,U_{\epsilon}\left(y\right)=\left\{ a\right\} \subseteq\left\{ a\right\} \)となるので\(\left\{ a\right\} \)は開集合となる。
従って矛盾となるので、背理法より距離化不可能であることになる。
故に離散位相でないならば距離化不可能となり、元の題意の対偶が示される。

\(\Leftarrow\)

離散位相であるので離散距離空間\(\left(X,d\right)\)によって距離化可能である。