行基本変形・列基本変形と基本行列
行基本変形・列基本変形と基本行列
\(m\times n\)の行列\(A\)があるとする。
記載してない行列の箇所は全て0である。
\(i\)列(行)目を\(c\)倍する場合は次の\(n\)次(\(m\)次)正方行列を右(左)から掛けることと同じである。
\[ \left(\begin{array}{ccccc} 1 & & i\text{列目} & & 0\\ & \ddots\\ i\text{行目} & & c\\ & & & \ddots\\ 0 & & & & 1 \end{array}\right) \] \(i\)列(行)目と\(j\)列(行)目を入れ替える場合は次の\(n\)次(\(m\)次)正方行列を右(左)から掛けることと同じである。
\[ \left(\begin{array}{ccccccc} 1 & & i\text{列目} & & j\text{列目} & & 0\\ & \ddots\\ i\text{行目} & & 0 & \cdots & 1\\ & & \vdots & \ddots & \vdots\\ j\text{列目} & & 1 & \cdots & 0\\ & & & & & \ddots\\ 0 & & & & & & 1 \end{array}\right) \] \(i\)列目(\(j\)行目)を\(c\)倍したものを\(j\)列目(\(i\)行目)に加える場合は次の\(n\)次(\(m\)次)正方行列を右(左)から掛けることと同じである。
\[ \left(\begin{array}{ccccccc} 1 & & i\text{列目} & & j\text{列目} & & 0\\ & \ddots\\ i\text{行目} & & 1 & \cdots & c\\ & & \vdots & \ddots & \vdots\\ j\text{列目} & & 0 & \cdots & 1\\ & & & & & \ddots\\ 0 & & & & & & 1 \end{array}\right) \]
\(m\times n\)の行列\(A\)があるとする。
(1)行基本変形
次の操作を行基本変形という。(a)
ある行を\(c\ne0\)倍する。(b)
2つの行を入れ替える。(c)
ある行の\(c\)倍を他の行に加える。(2)列基本変形
次の操作を列基本変形という。(a)
ある列を\(c\ne0\)倍する。(b)
2つの列を入れ替える。(c)
ある列の\(c\)倍を他の行に加える。(3)基本行列(基本変形の行列)
\(m\times n\)行列\(A\)に対して行基本変形(列基本変形)を行うことは基本行列を掛けることと同じである。記載してない行列の箇所は全て0である。
\(i\)列(行)目を\(c\)倍する場合は次の\(n\)次(\(m\)次)正方行列を右(左)から掛けることと同じである。
\[ \left(\begin{array}{ccccc} 1 & & i\text{列目} & & 0\\ & \ddots\\ i\text{行目} & & c\\ & & & \ddots\\ 0 & & & & 1 \end{array}\right) \] \(i\)列(行)目と\(j\)列(行)目を入れ替える場合は次の\(n\)次(\(m\)次)正方行列を右(左)から掛けることと同じである。
\[ \left(\begin{array}{ccccccc} 1 & & i\text{列目} & & j\text{列目} & & 0\\ & \ddots\\ i\text{行目} & & 0 & \cdots & 1\\ & & \vdots & \ddots & \vdots\\ j\text{列目} & & 1 & \cdots & 0\\ & & & & & \ddots\\ 0 & & & & & & 1 \end{array}\right) \] \(i\)列目(\(j\)行目)を\(c\)倍したものを\(j\)列目(\(i\)行目)に加える場合は次の\(n\)次(\(m\)次)正方行列を右(左)から掛けることと同じである。
\[ \left(\begin{array}{ccccccc} 1 & & i\text{列目} & & j\text{列目} & & 0\\ & \ddots\\ i\text{行目} & & 1 & \cdots & c\\ & & \vdots & \ddots & \vdots\\ j\text{列目} & & 0 & \cdots & 1\\ & & & & & \ddots\\ 0 & & & & & & 1 \end{array}\right) \]
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行基本変形のみを使って、逆行列を求めたり、連立1次方程式の解を求めたりできます。逆行列を求めるのは列基本変形のみを使っても出来ますが、縦に長くなるので普通は行基本変更のみを使います。
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行基本変形と列基本変形を使って階数を求めることができます。-
基本変形をすると行列式の値は変化します。ある行(列)を\(c\ne0\)倍すると行列式は\(c\)倍になる。
2つの行(列)を入れ替えると\(-1\)倍になる。
ある行(列)の\(c\)倍を他の行(列)に加えても変わらない。
行基本変形
\[ \left(\begin{array}{cccc} a & b & c & d\\ e & f & g & h\\ i & j & k & l \end{array}\right) \] に対し行列を掛けて行基本変形を行う。この行列は\(3\times4\)行列で行基本変形を行うので左から\(3\times3\)行列を掛けることになる。
2行目を2倍する。
\[ \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc} a & b & c & d\\ e & f & g & h\\ i & j & k & l \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc} a & b & c & d\\ 2e & 2f & 2g & 2h\\ i & j & k & l \end{array}\right) \] 2行目と3行目を入れ替える。
\[ \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc} a & b & c & d\\ e & f & g & h\\ i & j & k & l \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc} a & b & c & d\\ i & j & k & l\\ e & f & g & h \end{array}\right) \] 2行目を2倍したものを3行目に加える。
\[ \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 2 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc} a & b & c & d\\ e & f & g & h\\ i & j & k & l \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc} a & b & c & d\\ e & f & g & h\\ 2e+i & 2f+j & 2g+k & 2h+l \end{array}\right) \]
列基本変形
\[ \left(\begin{array}{cccc} a & b & c & d\\ e & f & g & h\\ i & j & k & l \end{array}\right) \] に対し行列を掛けて列基本変形を行う。この行列は\(3\times4\)行列で行基本変形を行うので右から\(4\times4\)行列を掛けることになる。
2列目を2倍する。
\[ \left(\begin{array}{cccc} a & b & c & d\\ e & f & g & h\\ i & j & k & l \end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc} a & 2b & c & d\\ e & 2f & g & h\\ i & 2j & k & l \end{array}\right) \] 2列目と3列目を入れ替える。
\[ \left(\begin{array}{cccc} a & b & c & d\\ e & f & g & h\\ i & j & k & l \end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc} a & c & b & d\\ e & g & f & h\\ i & k & j & l \end{array}\right) \] 2列目を2倍したものを3列目に加える。
\[ \left(\begin{array}{cccc} a & b & c & d\\ e & f & g & h\\ i & j & k & l \end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc} a & b & 2b+c & d\\ e & f & 2f+g & h\\ i & j & 2j+k & l \end{array}\right) \]
ページ情報
| タイトル | 行基本変形・列基本変形と基本行列 |
| URL | https://www.nomuramath.com/q7wg4xwl/ |
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行列式の基本性質
\[
\det\left(\boldsymbol{a}_{\sigma\left(1\right)},\boldsymbol{a}_{\sigma\left(2\right)},\cdots,\boldsymbol{a}_{\sigma\left(n\right)}\right)=\sgn\left(\sigma\right)\det\left(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\right)
\]
置換行列の定義
\[
\left(P_{\sigma}\right)_{i,j}=\delta_{j,\sigma\left(i\right)}
\]
アダマール積の性質
\[
A\odot B=B\odot A
\]
行列の和とスカラー倍と積・クロネッカー積・アダマール積・vec作用素の定義
\[
\left(AB\right)_{i,j}=\sum_{k=1}^{m}\left(A\right)_{i,k}\left(B\right)_{k,j}
\]