密着位相・離散位相・シェルピンスキー空間・補有限位相・補可算位相の定義
密着位相・離散位相・シェルピンスキー空間・補有限位相・補可算位相の定義
離散位相は\(\left(X,\left\{ A;A\subseteq X\right\} \right)\)でも表すことが出来る。
また\(\left(X,\mathcal{P}\left(X\right)\right)\)で表されることもある。
シェルピンスキー空間は\(\left(\left\{ a,b\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} \right)\)と位相同型な位相空間で\(\left(\left\{ a,b\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ b\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} \right)\)もシェルピンスキー空間である。
\[ \mathcal{O}_{c}=\left\{ \emptyset\right\} \cup\left\{ S\subseteq X;\left|X\setminus S\right|<\infty\right\} \] となる位相\(\left(X,\mathcal{O}_{c}\right)\)を補有限位相という。
言い換えると、有限集合と\(X\)自身を閉集合とする位相である。
補有限位相は\(X\)自身が有限集合のときは離散位相となる。
\[ \mathcal{O}=\left\{ \emptyset\right\} \cup\left\{ S\subseteq X;\left|X\setminus S\right|\leq\aleph_{0}\right\} \] となる位相\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)を補可算位相という。
(1)密着位相
\(X\)を空でない集合とする。このとき\(\left(X,\left\{ \emptyset,X\right\} \right)\)は位相となり、この位相を密着位相という。(2)離散位相
\(X\)を空でない集合とする。このとき\(\left(X,2^{X}\right)\)は位相となり、この位相を離散位相という。離散位相は\(\left(X,\left\{ A;A\subseteq X\right\} \right)\)でも表すことが出来る。
また\(\left(X,\mathcal{P}\left(X\right)\right)\)で表されることもある。
(3)シェルピンスキー空間
密着位相でも離散位相でもない2つの元のみでなる位相空間をシェルピンスキー空間という。シェルピンスキー空間は\(\left(\left\{ a,b\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} \right)\)と位相同型な位相空間で\(\left(\left\{ a,b\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ b\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} \right)\)もシェルピンスキー空間である。
(4)補有限位相
\(X\)を集合とする。補集合が有限集合のとき開集合とする位相、すなわち\[ \mathcal{O}_{c}=\left\{ \emptyset\right\} \cup\left\{ S\subseteq X;\left|X\setminus S\right|<\infty\right\} \] となる位相\(\left(X,\mathcal{O}_{c}\right)\)を補有限位相という。
言い換えると、有限集合と\(X\)自身を閉集合とする位相である。
補有限位相は\(X\)自身が有限集合のときは離散位相となる。
(5)補可算位相
\(X\)を集合とする。補集合が可算集合のとき開集合とする位相、すなわち\[ \mathcal{O}=\left\{ \emptyset\right\} \cup\left\{ S\subseteq X;\left|X\setminus S\right|\leq\aleph_{0}\right\} \] となる位相\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)を補可算位相という。
(1)密着位相
\(\left(\left\{ a\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a\right\} \right\} \right)\)は密着位相となる。\(\left(\left\{ a,b\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a,b\right\} \right\} \right)\)は密着位相となる。
(2)離散位相
\(\left(\left\{ a\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a\right\} \right\} \right)\)は離散位相となる。\(\left(\left\{ a,b\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a\right\} ,\left\{ b\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} \right)\)は離散位相となる。
(3)シェルピンスキー空間
\(\left(\left\{ a,b\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} \right)\)はシェルピンスキー空間となる。\(\left(\left\{ a,b\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ b\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} \right)\)はシェルピンスキー空間となる。
(4)補有限位相
\(\left(\mathbb{R},\left\{ A\subseteq\mathbb{R};A=\emptyset\lor\left|X\setminus A\right|<\infty\right\} \right)\)は補有限位相となる。このとき、無理数全体の集合は補集合が有理数で可算無限なので開集合とはならない。
(5)補可算位相
\(\left(\mathbb{R},\left\{ A\subseteq\mathbb{R};A=\emptyset\lor\left|X\setminus A\right|\leq\aleph_{0}\right\} \right)\)は補可算位相となる。このとき、無理数全体の集合は補集合が有理数で可算無限なので開集合となる。
ページ情報
| タイトル | 密着位相・離散位相・シェルピンスキー空間・補有限位相・補可算位相の定義 |
| URL | https://www.nomuramath.com/mtqgg3p9/ |
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行列を挟んでいる場合の解
\[
XAX=B\Rightarrow X=A^{-\frac{1}{2}}\left(A^{\frac{1}{2}}BA^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}A^{-\frac{1}{2}}
\]
Woodburyの恒等式
\[
\left(A+BCD\right)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}B\left(C^{-1}+DA^{-1}B\right)^{-1}DA^{-1}
\]
同時対角化可能と可換性
行列$A,B$が共に対角化可能であるとき、$AB=BA$であることと、$A$と$B$が同時対角化可能であることは同値である。
階数・像・核と線形写像・行列との関係
\[
\rank A=\dim\im A
\]