極限と積分・微分の順序変更
\[ \lim_{k\rightarrow\infty}\int_{a}^{b}f_{k}\left(x\right)dx=\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx \] すなわち、
\[ \lim_{k\rightarrow\infty}\int_{a}^{b}f_{k}\left(x\right)dx=\int_{a}^{b}\lim_{k\rightarrow\infty}f_{k}\left(x\right)dx \] が成り立つ。
逆は一般的に成り立たない。
このとき、関数列\(\left(f_{k}\right)_{k\in\mathbb{N}}\)は一様収束し、
\[ \lim_{k\rightarrow\infty}\frac{d}{dx}f_{k}\left(x\right)=\frac{d}{dx}\lim_{k\rightarrow\infty}f_{k}\left(x\right) \] が成り立つ。
このとき、関数列\(\left(f_{k}\right)_{k\in\mathbb{N}}\)が\(C^{1}\)級であり、関数列\(\left(f_{k}'\right)_{k\in\mathbb{N}},\left(f_{k}\right)_{k\in\mathbb{N}}\)は一様収束してるので、極限関数\(\lim_{k\rightarrow\infty}f_{k}\left(x\right)\)は\(C^{1}\)級になります。
(1)極限と積分の順序変更
閉区間\(\left[a,b\right]\)で連続な関数列\(\left(f_{k}\left(x\right)\right)_{k\in\mathbb{N}}\)が\(\left[a,b\right]\)上で\(f\)に一様収束すれば、\[ \lim_{k\rightarrow\infty}\int_{a}^{b}f_{k}\left(x\right)dx=\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx \] すなわち、
\[ \lim_{k\rightarrow\infty}\int_{a}^{b}f_{k}\left(x\right)dx=\int_{a}^{b}\lim_{k\rightarrow\infty}f_{k}\left(x\right)dx \] が成り立つ。
逆は一般的に成り立たない。
(2)極限と微分の順序変更
閉区間\(\left[a,b\right]\)で\(C^{1}\)級の関数列\(\left(f_{k}\right)_{k\in\mathbb{N}}\)があり、点\(x_{0}\in\left[a,b\right]\)で数列\(\left(f_{k}\left(x_{0}\right)\right)_{k\in\mathbb{N}}\)は収束して、関数列\(\left(f_{k}'\right)_{k\in\mathbb{N}}\)は一様収束するとする。このとき、関数列\(\left(f_{k}\right)_{k\in\mathbb{N}}\)は一様収束し、
\[ \lim_{k\rightarrow\infty}\frac{d}{dx}f_{k}\left(x\right)=\frac{d}{dx}\lim_{k\rightarrow\infty}f_{k}\left(x\right) \] が成り立つ。
このとき、関数列\(\left(f_{k}\right)_{k\in\mathbb{N}}\)が\(C^{1}\)級であり、関数列\(\left(f_{k}'\right)_{k\in\mathbb{N}},\left(f_{k}\right)_{k\in\mathbb{N}}\)は一様収束してるので、極限関数\(\lim_{k\rightarrow\infty}f_{k}\left(x\right)\)は\(C^{1}\)級になります。
(1)極限と積分の順序変更が出来ない例
\begin{align*} f_{k}\left(x\right) & =k\cdot1_{\left(0,\frac{1}{k}\right]}\\ & =\begin{cases} k & 0<x\leq\frac{1}{k}\\ 0 & x\leq0,\frac{1}{k}<x \end{cases} \end{align*} とすると、\begin{align*} \lim_{k\rightarrow\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f_{k}\left(x\right)dx & =\lim_{k\rightarrow\infty}k\int_{0}^{\frac{1}{k}}dx\\ & =\lim_{k\rightarrow\infty}1\\ & =1 \end{align*} \begin{align*} \int_{-\infty}^{\infty}\lim_{k\rightarrow\infty}f_{k}\left(x\right)dx & =\int_{-\infty}^{\infty}0dx\\ & =0 \end{align*} となるので
\[ \lim_{k\rightarrow\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f_{k}\left(x\right)dx\ne\int_{-\infty}^{\infty}\lim_{k\rightarrow\infty}f_{k}\left(x\right)dx \] となり、極限と積分の順序変更が出来ない
(2)極限と積分の順序変更が出来ない例-2
\begin{align*} f_{k}\left(x\right) & =1_{\left[k,k+1\right]}\\ & =\begin{cases} 1 & k\leq x\leq k+1\\ 0 & x<k,k<x \end{cases} \end{align*} とすると、\begin{align*} \lim_{k\rightarrow\infty}\int_{0}^{\infty}f_{k}\left(x\right)dx & =\lim_{k\rightarrow\infty}\int_{k}^{k+1}dx\\ & =\lim_{k\rightarrow\infty}1\\ & =1 \end{align*} \begin{align*} \int_{-\infty}^{\infty}\lim_{k\rightarrow\infty}f_{k}\left(x\right)dx & =\int_{-\infty}^{\infty}0dx\\ & =0 \end{align*} となるので、
\[ \lim_{k\rightarrow\infty}\int_{0}^{\infty}f_{k}\left(x\right)dx\ne\int_{0}^{\infty}\lim_{k\rightarrow\infty}f_{k}\left(x\right)dx \] となり、極限と積分の順序変更が出来ない。
(3)関数列が一様収束しても項別微分ができない例
実数全体\(\mathbb{R}\)上で定義された関数列を\(\left(f_{k}\left(x\right)\right)_{k\in\mathbb{N}}=\left(\frac{\sin\left(kx\right)}{k}\right)_{k\in\mathbb{N}}\)とする。このとき、\(\lim_{k\rightarrow\infty}f_{k}\left(x\right)=\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{\sin\left(kx\right)}{k}=0\)となり、
\begin{align*} \lim_{k\rightarrow\infty}\sup_{x\in\mathbb{R}}\left|f_{k}\left(x\right)-\lim_{k\rightarrow\infty}f_{k}\left(x\right)\right| & =\lim_{k\rightarrow\infty}\sup_{x\in\mathbb{R}}\left|\frac{\sin\left(kx\right)}{k}-0\right|\\ & =\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{1}{k}\sup_{x\in\mathbb{R}}\left|\sin\left(kx\right)\right|\\ & =\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{1}{k}\cdot1\\ & =\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{1}{k}\\ & =0 \end{align*} となるので、関数列\(\left(f_{k}\left(x\right)\right)_{k\in\mathbb{N}}\)は関数0に一様収束する。
ここで、関数列\(\left(f_{k}\left(x\right)\right)_{k\in\mathbb{N}}\)の極限をとって微分をすると、
\begin{align*} \frac{d}{dx}\lim_{k\rightarrow\infty}f_{k}\left(x\right) & =\frac{d}{dx}0\\ & =0 \end{align*} となるが、微分をしてから極限をとると、
\begin{align*} \lim_{k\rightarrow\infty}\frac{d}{dx}f_{k}\left(x\right) & =\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{d}{dx}\frac{\sin\left(kx\right)}{k}\\ & =\lim_{k\rightarrow\infty}\cos\left(kx\right) \end{align*} となり、振動する。
従って、
\[ \frac{d}{dx}\lim_{k\rightarrow\infty}f_{k}\left(x\right)\ne\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{d}{dx}f_{k}\left(x\right) \] となる。
(1)
\(\Rightarrow\)
\begin{align*} \lim_{k\rightarrow\infty}\left|\int_{a}^{b}f_{k}\left(x\right)dx-\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx\right| & \leq\lim_{k\rightarrow\infty}\int_{a}^{b}\left|f_{k}\left(x\right)-f\left(x\right)\right|dx\\ & \leq\lim_{k\rightarrow\infty}\int_{a}^{b}\sup_{a\leq x\leq b}\left|f_{k}\left(x\right)-f\left(x\right)\right|dx\\ & =\left(b-a\right)\lim_{k\rightarrow\infty}\sup_{a\leq x\leq b}\left|f_{k}\left(x\right)-f\left(x\right)\right|\\ & =0\cmt{\because\text{一様収束}} \end{align*} これより、\[ \lim_{k\rightarrow\infty}\int_{a}^{b}f_{k}\left(x\right)dx=\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx \] が成り立つ。
\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない
反例で示す。関数列\(\left(f_{k}\left(x\right)\right)_{k\in\mathbb{N}}\)を\(f_{k}\left(x\right)=1_{\left(0,\frac{1}{k}\right)}\)とする。
この関数列は\(f\left(x\right)=0\)に各点収束するが、
\begin{align*} \lim_{k\rightarrow\infty}\sup_{x\in\left[0,1\right]}\left|f_{k}\left(x\right)-f\left(x\right)\right| & =\lim_{k\rightarrow\infty}\sup_{x\in\left[0,1\right]}\left|f_{k}\left(x\right)\right|\\ & \geq\lim_{k\rightarrow\infty}f_{k}\left(\frac{1}{2k}\right)\\ & =\lim_{k\rightarrow\infty}1_{\left(0,\frac{1}{k}\right)}\left(\frac{1}{2k}\right)\\ & =\lim_{k\rightarrow\infty}1\\ & =1 \end{align*} となるので一様収束しない。
\(f_{k}\left(x\right)\)を積分をして極限をとると、
\begin{align*} \lim_{k\rightarrow\infty}\int_{0}^{1}f_{k}\left(x\right)dx & =\lim_{k\rightarrow\infty}\int_{0}^{\frac{1}{k}}dx\\ & =\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{1}{k}\\ & =0 \end{align*} となり、\(f_{k}\left(x\right)\)を極限をとり積分すると、
\begin{align*} \int_{0}^{1}\lim_{k\rightarrow\infty}f_{k}\left(x\right)dx & =\int_{0}^{1}0dx\\ & =0 \end{align*} となる。
従って、\(\lim_{k\rightarrow\infty}\int_{0}^{1}f_{k}\left(x\right)dx=\int_{0}^{1}\lim_{k\rightarrow\infty}f_{k}\left(x\right)dx\)が成り立つが\(f_{k}\left(x\right)\)は一様収束してない。
故に\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない。
反例2
区間\(\left[0,2\right]\)で関数列\(\left(f_{k}\left(x\right)\right)_{k\in\mathbb{N}}\)を\(f_{k}\left(x\right)=x^{k}H_{0}\left(1-x\right)+H_{1}\left(x-1\right)\)とする。\(H_{c}\left(x\right)\)はヘヴィサイドの階段関数である。
この関数列は\(f\left(x\right)=H_{1}\left(x-1\right)\)に各点収束するが、
\begin{align*} \lim_{k\rightarrow\infty}\sup_{x\in\left[0,2\right]}\left|f_{k}\left(x\right)-f\left(x\right)\right| & =\lim_{k\rightarrow\infty}\sup_{x\in\left[0,2\right]}\left|x^{k}H_{0}\left(1-x\right)\right|\\ & =\lim_{k\rightarrow\infty}\left(1-\frac{1}{k}\right)^{k}H_{0}\left(1-\left(1-\frac{1}{k}\right)\right)\\ & =\lim_{k\rightarrow\infty}\left\{ \left(1-\frac{1}{k}\right)^{k}H_{0}\left(\frac{1}{k}\right)\right\} \\ & =\lim_{k\rightarrow\infty}\left(1-\frac{1}{k}\right)^{k}\\ & =e^{-1} \end{align*} となるので一様収束しない。
\(f_{k}\left(x\right)\)を積分をして極限をとると、
\begin{align*} \lim_{k\rightarrow\infty}\int_{0}^{2}f_{k}\left(x\right)dx & =\lim_{k\rightarrow\infty}\int_{0}^{2}\left\{ x^{k}H_{0}\left(1-x\right)+H_{1}\left(x-1\right)\right\} dx\\ & =\lim_{k\rightarrow\infty}\left(\int_{0}^{1}+\int_{1}^{2}\right)\left\{ x^{k}H_{0}\left(1-x\right)+H_{1}\left(x-1\right)\right\} dx\\ & =\lim_{k\rightarrow\infty}\left\{ \int_{0}^{1}x^{k}H_{0}\left(1-x\right)dx+\int_{1}^{2}H_{1}\left(x-1\right)dx\right\} \\ & =\lim_{k\rightarrow\infty}\left\{ \int_{0}^{1}x^{k}dx+\int_{1}^{2}dx\right\} \\ & =\lim_{k\rightarrow\infty}\left\{ \left[\frac{1}{k+1}x^{k+1}\right]_{0}^{1}+1\right\} \\ & =\lim_{k\rightarrow\infty}\left(\frac{1}{k+1}+1\right)\\ & =1 \end{align*} となり、\(f_{k}\left(x\right)\)を極限をとり積分すると、
\begin{align*} \int_{0}^{2}\lim_{k\rightarrow\infty}f_{k}\left(x\right)dx & =\int_{0}^{2}H_{1}\left(x-1\right)dx\\ & =\int_{1}^{2}H_{1}\left(x-1\right)dx\\ & =1 \end{align*} となる。
従って、\(\lim_{k\rightarrow\infty}\int_{0}^{2}f_{k}\left(x\right)dx=\int_{0}^{2}\lim_{k\rightarrow\infty}f_{k}\left(x\right)dx\)が成り立つが\(f_{k}\left(x\right)\)は一様収束してない。
故に\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない。
(2)
\(\left(f_{k}'\left(x\right)\right)_{k\in\mathbb{N}}\)は一様収束しているので、\begin{align*} \lim_{k\rightarrow\infty}\frac{d}{dx}f_{k}\left(x\right) & =\lim_{k\rightarrow\infty}f_{k}'\left(x\right)\\ & =\frac{d}{dx}\int_{x_{0}}^{x}\lim_{k\rightarrow\infty}f_{k}'\left(t\right)dt\cmt{\because\text{関数列}\left(f_{k}'\left(x\right)\right)_{k\in\mathbb{N}}\text{は一様収束するので極限関数}\lim_{k\rightarrow\infty}f_{k}'\left(x\right)\text{は連続}}\\ & =\frac{d}{dx}\lim_{k\rightarrow\infty}\int_{x_{0}}^{x}f_{k}'\left(t\right)dt\cmt{\because f_{k}'\left(x\right)\text{は一様収束なので極限と積分の順序交換}}\\ & =\frac{d}{dx}\left(\lim_{k\rightarrow\infty}f_{k}\left(x_{0}\right)+\lim_{k\rightarrow\infty}\int_{x_{0}}^{x}f_{k}'\left(t\right)dt\right)\\ & =\frac{d}{dx}\lim_{k\rightarrow\infty}\left(f_{k}\left(x_{0}\right)+\int_{x_{0}}^{x}f_{k}'\left(t\right)dt\right)\\ & =\frac{d}{dx}\lim_{k\rightarrow\infty}f_{k}\left(x\right) \end{align*} となる。
\(f_{k}\left(x\right)\)が\(C^{1}\)級なので\(f_{k}'\left(x\right)\)は連続になり、\(\left(f_{k}'\left(x\right)\right)_{k\in\mathbb{N}}\)は一様収束しているので、\(\lim_{k\rightarrow\infty}f_{k}'\left(x\right)\)は連続となる。
これより、\(\lim_{k\rightarrow\infty}f_{k}'\left(x\right)\)を積分して得られる
\begin{align*} \int_{x_{0}}^{x}\lim_{k\rightarrow\infty}f_{k}'\left(t\right)dt & =\lim_{k\rightarrow\infty}\int_{x_{0}}^{x}f_{k}'\left(t\right)dt\cmt{\because\left(f_{k}'\left(x\right)\right)_{k\in\mathbb{N}}\text{は一様収束}}\\ & =\lim_{k\rightarrow\infty}\left(f_{k}\left(x\right)-f_{k}\left(x_{0}\right)\right)\\ & =\lim_{k\rightarrow\infty}f_{k}\left(x\right)-\lim_{k\rightarrow\infty}f_{k}\left(x_{0}\right)\cmt{\because\left(f_{k}\left(x_{0}\right)\right)_{k\in\mathbb{N}}\text{は収束}} \end{align*} は\(C^{1}\)級になり\(\lim_{k\rightarrow\infty}f_{k}\left(x_{0}\right)\)は定数なので\(\lim_{k\rightarrow\infty}f_{k}\left(x\right)\)は\(C^{1}\)級になる。
従って題意は成り立つ。
(2)-2
関数列\(\left(f_{k}'\right)_{k\in\mathbb{N}}\)の各点収束先は\begin{align*} \lim_{k\rightarrow\infty}f_{k}\left(x\right) & =\lim_{k\rightarrow\infty}\left(f_{k}\left(x_{0}\right)+\int_{x_{0}}^{x}f_{k}'\left(t\right)dt\right)\\ & =\lim_{k\rightarrow\infty}f_{k}\left(x_{0}\right)+\lim_{k\rightarrow\infty}\int_{x_{0}}^{x}f_{k}'\left(t\right)dt\\ & =\lim_{k\rightarrow\infty}f_{k}\left(x_{0}\right)+\int_{x_{0}}^{x}\lim_{k\rightarrow\infty}f_{k}'\left(t\right)dt\cmt{\because\left(f_{k}'\right)_{k\in\mathbb{N}}\text{は一様収束するので、極限と積分の順序交換ができる}} \end{align*} となる。
ここで、前件より、\(\left(f_{k}\left(x_{0}\right)\right)_{k\in\mathbb{N}}\)は収束し、関数列\(\left(f_{k}\right)_{k\in\mathbb{N}}\)は\(C^{1}\)級なので\(\left(f_{k}'\right)_{k\in\mathbb{N}}\)は連続であり、関数列\(\left(f_{k}'\right)_{k\in\mathbb{N}}\)は一様収束するので極限関数\(\lim_{k\rightarrow\infty}f_{k}'\left(x\right)\)は連続関数となる。
このとき、
\begin{align*} & \lim_{k\rightarrow\infty}\sup_{x\in\left[a,b\right]}\left|f_{k}\left(x\right)-\left(\lim_{j\rightarrow\infty}f_{j}\left(x_{0}\right)+\int_{x_{0}}^{x}\lim_{j\rightarrow\infty}f_{j}'\left(t\right)dt\right)\right|\\ = & \lim_{k\rightarrow\infty}\sup_{x\in\left[a,b\right]}\left|\left(f_{k}\left(x_{0}\right)+\int_{x_{0}}^{x}f_{k}'\left(t\right)dt\right)-\left(\lim_{j\rightarrow\infty}f_{j}\left(x_{0}\right)+\int_{x_{0}}^{x}\lim_{j\rightarrow\infty}f_{j}'\left(t\right)dt\right)\right|\\ = & \lim_{k\rightarrow\infty}\sup_{x\in\left[a,b\right]}\left|f_{k}\left(x_{0}\right)-\lim_{j\rightarrow\infty}f_{j}\left(x_{0}\right)+\int_{x_{0}}^{x}\left(f_{k}'\left(t\right)-\lim_{j\rightarrow\infty}f_{j}'\left(t\right)\right)dt\right|\\ \leq & \lim_{k\rightarrow\infty}\sup_{x\in\left[a,b\right]}\left(\left|f_{k}\left(x_{0}\right)-\lim_{j\rightarrow\infty}f_{j}\left(x_{0}\right)\right|+\left|\int_{x_{0}}^{x}\left(f_{k}'\left(t\right)-\lim_{j\rightarrow\infty}f_{j}'\left(t\right)\right)dt\right|\right)\cmt{\because3\text{角不等式}}\\ \leq & \lim_{k\rightarrow\infty}\sup_{x\in\left[a,b\right]}\left(\left|f_{k}\left(x_{0}\right)-\lim_{j\rightarrow\infty}f_{j}\left(x_{0}\right)\right|+\left|\int_{x_{0}}^{x}dx\cdot\sup_{t\in\left[x_{0},x\right]}\left|f_{k}'\left(t\right)-\lim_{j\rightarrow\infty}f_{j}'\left(t\right)\right|\right|\right)\\ = & \lim_{k\rightarrow\infty}\sup_{x\in\left[a,b\right]}\left(\left|f_{k}\left(x_{0}\right)-\lim_{j\rightarrow\infty}f_{j}\left(x_{0}\right)\right|+\left|\left(x-x_{0}\right)\sup_{t\in\left[x_{0},x\right]}\left|f_{k}'\left(t\right)-\lim_{j\rightarrow\infty}f_{j}'\left(t\right)\right|\right|\right)\\ = & \lim_{k\rightarrow\infty}\sup_{x\in\left[a,b\right]}\left|f_{k}\left(x_{0}\right)-\lim_{j\rightarrow\infty}f_{j}\left(x_{0}\right)\right|+\lim_{k\rightarrow\infty}\sup_{x\in\left[a,b\right]}\left(\left|x-x_{0}\right|\sup_{t\in\left[x_{0},x\right]}\left|f_{k}'\left(t\right)-\lim_{j\rightarrow\infty}f_{j}'\left(t\right)\right|\right)\\ = & \lim_{k\rightarrow\infty}\left|f_{k}\left(x_{0}\right)-\lim_{j\rightarrow\infty}f_{j}\left(x_{0}\right)\right|+\lim_{k\rightarrow\infty}\left(\sup_{x\in\left[a,b\right]}\left|x-x_{0}\right|\right)\left(\sup_{x\in\left[a,b\right]}\sup_{t\in\left[x_{0},x\right]}\left|f_{k}'\left(t\right)-\lim_{j\rightarrow\infty}f_{j}'\left(t\right)\right|\right)\\ \leq & 0+\lim_{k\rightarrow\infty}\left(b-a\right)\left(\sup_{t\in\left[a,b\right]}\left|f_{k}'\left(t\right)-\lim_{j\rightarrow\infty}f_{j}'\left(t\right)\right|\right)\\ = & \left(b-a\right)\lim_{k\rightarrow\infty}\sup_{t\in\left[a,b\right]}\left|f_{k}'\left(t\right)-\lim_{j\rightarrow\infty}f_{j}'\left(t\right)\right|\\ = & \left(b-a\right)\cdot0\cmt{\because f_{k}'\left(t\right)\text{は一様収束}}\\ = & 0 \end{align*} となるので、\(\left(f_{k}\left(x\right)\right)_{k\in\mathbb{N}}\)は\(\lim_{j\rightarrow\infty}f_{j}\left(x_{0}\right)+\int_{x_{0}}^{x}\lim_{j\rightarrow\infty}f_{j}'\left(t\right)dt\)に一様収束する。
また、
\begin{align*} \frac{d}{dx}\lim_{k\rightarrow\infty}f_{k}\left(x\right) & =\frac{d}{dx}\left(\lim_{j\rightarrow\infty}f_{j}\left(x_{0}\right)+\int_{x_{0}}^{x}\lim_{j\rightarrow\infty}f_{j}'\left(t\right)dt\right)\\ & =\frac{d}{dx}\int_{x_{0}}^{x}\lim_{j\rightarrow\infty}f_{j}'\left(t\right)dt\\ & =\lim_{j\rightarrow\infty}f_{j}'\left(x\right)\\ & =\lim_{j\rightarrow\infty}\frac{d}{dx}f_{j}\left(x\right) \end{align*} となる。
従って、関数列\(\left(f_{k}\left(x\right)\right)_{k\in\mathbb{N}}\)は一様収束し、
\[ \lim_{k\rightarrow\infty}\frac{d}{dx}f_{k}\left(x\right)=\frac{d}{dx}\lim_{k\rightarrow\infty}f_{k}\left(x\right) \] が成り立つ。
ページ情報
| タイトル | 極限と積分・微分の順序変更 |
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数列の極限での大小関係
\[
a_{n}<b_{n}\Rightarrow a\leq b
\]
合成関数の導関数・偏導関数
\[
\frac{df}{dt}=\sum_{k=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_{k}}\frac{dx_{k}}{dt}
\]
偏微分の順序交換(シュワルツの定理)
\[
\frac{\partial^{2}f\left(x,y\right)}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^{2}f\left(x,y\right)}{\partial y\partial x}
\]
C1級・全微分可能・偏微分可能・連続の関係
\[
C^{1}\text{級}\Rightarrow\text{全微分可能}\Rightarrow\text{偏微分可能}
\]