(0)

\(\Rightarrow\)

\(\left(f_{k}\left(x\right)\right)_{k\in\mathbb{N}}\)が\(f\left(x\right)\)に一様収束するので、
\[ \lim_{k\rightarrow\infty}\sup_{x\in I}\left|f_{k}\left(x\right)-f\left(x\right)\right|=0 \] となる。
これより、
\begin{align*} 0 & =\lim_{k\rightarrow\infty}\sup_{x\in I}\left|f_{k}\left(x\right)-f\left(x\right)\right|\\ & \geq\lim_{k\rightarrow\infty}\left|f_{k}\left(x\right)-f\left(x\right)\right|\cmt{\because x\in I} \end{align*} となり、最右辺の非負性より、
\[ \lim_{k\rightarrow\infty}\left|f_{k}\left(x\right)-f\left(x\right)\right|=0 \] となるので、\(\left(f_{k}\left(x\right)\right)_{k\in\mathbb{N}}\)は各点収束する。
また、\(\left(f_{k}\left(x\right)\right)_{k\in\mathbb{N}}\)は連続なので、
\[ \forall x_{0}\in I,\lim_{x\rightarrow x_{0}}\left|f_{k}\left(x\right)-f_{k}\left(x_{0}\right)\right|=0 \] となる。
これより、任意の\(x_{0}\in I\)について、
\begin{align*} \lim_{x\rightarrow x_{0}}\left|f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)\right| & =\lim_{k\rightarrow\infty}\lim_{x\rightarrow x_{0}}\left|f\left(x\right)-f_{k}\left(x\right)+f_{k}\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)\right|\\ & =\lim_{k\rightarrow\infty}\lim_{x\rightarrow x_{0}}\left|f\left(x\right)-f_{k}\left(x\right)+f_{k}\left(x\right)-f_{k}\left(x_{0}\right)+f_{k}\left(x_{0}\right)-f\left(x_{0}\right)\right|\\ & \leq\lim_{k\rightarrow\infty}\lim_{x\rightarrow x_{0}}\left(\left|f\left(x\right)-f_{k}\left(x\right)\right|+\left|f_{k}\left(x\right)-f_{k}\left(x_{0}\right)\right|+\left|f_{k}\left(x_{0}\right)-f\left(x_{0}\right)\right|\right)\\ & =\lim_{k\rightarrow\infty}\lim_{x\rightarrow x_{0}}\left|f\left(x\right)-f_{k}\left(x\right)\right|+\lim_{k\rightarrow\infty}\lim_{x\rightarrow x_{0}}\left|f_{k}\left(x\right)-f_{k}\left(x_{0}\right)\right|+\lim_{k\rightarrow\infty}\left|f_{k}\left(x_{0}\right)-f\left(x_{0}\right)\right|\\ & \leq\lim_{k\rightarrow\infty}\lim_{x\rightarrow x_{0}}\sup_{t\in I}\left|f\left(t\right)-f_{k}\left(t\right)\right|+\lim_{k\rightarrow\infty}0+0\\ & =\lim_{k\rightarrow\infty}\lim_{x\rightarrow x_{0}}\sup_{t\in I}\left|f\left(t\right)-f_{k}\left(t\right)\right|\\ & =\lim_{k\rightarrow\infty}\sup_{t\in I}\left|f\left(t\right)-f_{k}\left(t\right)\right|\\ & =0 \end{align*} となり、最左辺の非負性より、
\[ \lim_{x\rightarrow x_{0}}\left|f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)\right|=0 \] となる。
これより、任意の\(x\in I\)について、\(\lim_{x\rightarrow x_{0}}\left|f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)\right|=0\)となるので、\(f\)は\(I\)で連続となる。

逆は一般的に成り立たない

連続な関数列\(\left(f_{k}\left(x\right)\right)_{k\in\mathbb{N}}\)が\(f\left(x\right)\)に各点収束して連続であっても\(f\left(x\right)\)が一様収束するとは限らない。
反例で示す。
関数列を\(\left(f_{k}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},x\mapsto e^{-\left(x-k\right)^{2}}\right)_{k\in\mathbb{N}}\)とすると、関数列\(\left(f_{k}\left(x\right)\right)_{k\in\mathbb{N}}\)は連続であり、
\begin{align*} \lim_{k\rightarrow\infty}f_{k}\left(x\right) & =\lim_{k\rightarrow\infty}e^{-\left(x-k\right)^{2}}\\ & =0 \end{align*} となるので、関数0に各点収束して関数0は連続である。
しかし、
\begin{align*} \lim_{k\rightarrow\infty}\sup_{x\in\mathbb{R}}\left|f_{k}\left(x\right)-0\right| & =\lim_{k\rightarrow\infty}\sup_{x\in\mathbb{R}}\left|e^{-\left(x-k\right)^{2}}\right|\\ & =\lim_{k\rightarrow\infty}1\\ & =1 \end{align*} となるので、関数列\(\left(f_{k}\left(x\right)\right)_{k\in\mathbb{N}}\)は\(f\left(x\right)=0\)に一様収束しない。
従って逆は一般的に成り立たない。

(0)-2

\(\Rightarrow\)のみ示す。
区間\(I\)で\(\left(f_{k}\left(x\right)\right)_{k\in\mathbb{N}}\)が一様収束するので、
\[ \forall\epsilon>0,\exists N,\forall x\in I,N\leq n\Rightarrow\left|f_{n}\left(x\right)-f\left(x\right)\right|<\frac{\epsilon}{3} \] 区間\(I\)で\(\left(f_{k}\left(x\right)\right)_{k\in\mathbb{N}}\)が連続であるので、
\[ \forall\epsilon>0,\exists\delta>0,\left|x-x_{0}\right|<\delta\Rightarrow\left|f_{n}\left(x\right)-f_{n}\left(x_{0}\right)\right|<\frac{\epsilon}{3} \] 任意の\(\epsilon\)で成り立つので同じ\(\epsilon\)を使う。
\(x_{0}\in I\)を固定し、\(N<n\)を満たす任意の\(n\)と\(\left|x-x_{0}\right|<\delta\)を満たす任意の\(x\in I\)に対し、
\begin{align*} \left|f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)\right| & =\left|f\left(x\right)-f_{n}\left(x\right)+f_{n}\left(x\right)-f_{n}\left(x_{0}\right)+f_{n}\left(x_{0}\right)-f\left(x_{0}\right)\right|\\ & \leq\left|f\left(x\right)-f_{n}\left(x\right)\right|+\left|f_{n}\left(x\right)-f_{n}\left(x_{0}\right)\right|+\left|f_{n}\left(x_{0}\right)-f\left(x_{0}\right)\right|\\ & <\frac{\epsilon}{3}+\frac{\epsilon}{3}+\frac{\epsilon}{3}\\ & =\epsilon \end{align*} となるので、関数\(f\left(x\right)\)は\(x_{0}\)で連続となる。
\(x_{0}\)は\(I\)の任意の点で成り立つので\(f\left(x\right)\)は\(I\)で連続となる。

(0)-3

逆は一般的に成り立たないことのみ示す。
反例で示す。
区間\(\left[0,1\right]\)で定義された関数列を
\[ f_{k}\left(x\right)=\begin{cases} 2k^{2}x & 0\leq x<\frac{1}{2k}\\ 2k\left(1-kx\right) & \frac{1}{2k}\leq x<\frac{1}{k}\\ 1 & \frac{1}{k}\leq x\leq1 \end{cases} \] とすると、関数列\(\left(f_{k}\left(x\right)\right)_{k\in\mathbb{N}}\)は\(f\left(x\right)=0\)に各点収束するので連続である。
しかし、\(f_{k}\left(\frac{1}{2k}\right)=k\)なので
\begin{align*} \sup_{0\leq x\leq1}\left|f_{k}\left(x\right)-0\right| & =\sup_{0\leq x\leq1}\left|f_{k}\left(x\right)\right|\\ & =k \end{align*} となるので関数列\(\left(f_{k}\left(x\right)\right)_{k\in\mathbb{N}}\)は\(f\left(x\right)=0\)に一様収束しない。