(1)

\(\Rightarrow\)

関数\(f\)に一様収束するとき、
\[ \lim_{k\rightarrow\infty}\sup_{x\in S}\left|f_{k}\left(x\right)-f\left(x\right)\right|=0 \] となる。
これより、任意の\(x\in S\)について、
\begin{align*} 0 & =\lim_{k\rightarrow\infty}\sup_{x\in S}\left|f_{k}\left(x\right)-f\left(x\right)\right|\\ & \geq\lim_{k\rightarrow\infty}\left|f_{k}\left(x\right)-f\left(x\right)\right| \end{align*} となり、最右辺の非負性より、
\[ \lim_{k\rightarrow\infty}\left|f_{k}\left(x\right)-f\left(x\right)\right|=0 \] となり、関数\(f\)に各点収束する。
従って、\(\Rightarrow\)が成り立つ。

逆は一般的に成り立たない。

反例で示す。
関数列を\(\left(f_{k}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},x\mapsto\delta_{k,x}\right)_{k\in\mathbb{N}}\)とすると、
\begin{align*} \lim_{k\rightarrow\infty}\left|f_{k}\left(x\right)-0\right| & =\lim_{k\rightarrow\infty}\delta_{k,x}\\ & =0 \end{align*} となるので、関数0に各点収束する。
しかし、
\begin{align*} \lim_{k\rightarrow\infty}\sup_{x\in\mathbb{R}}\left|f_{k}\left(x\right)-0\right| & =\lim_{k\rightarrow\infty}\sup_{x\in\mathbb{R}}\delta_{k,x}\\ & =\lim_{k\rightarrow\infty}1\\ & =1\\ & \ne0 \end{align*} であるので、関数0に一様収束しない。
従って、関数\(f\)に各点収束しても関数\(f\)に一様収束するとは限らない。
故に逆は一般的に成り立たない。

-

これらより、題意は成り立つ。

(2)

関数\(f\)に一様収束するとき、
\[ \lim_{k\rightarrow\infty}\sup_{x\in S}\left|f_{k}\left(x\right)-f\left(x\right)\right|=0 \] となる。
ここで、任意の閉区間を\(I=\left[a,b\right]\subseteq S\)と任意の\(x\in I\)について、
\begin{align*} 0 & =\lim_{k\rightarrow\infty}\sup_{x\in S}\left|f_{k}\left(x\right)-f\left(x\right)\right|\\ & \geq\lim_{k\rightarrow\infty}\sup_{x\in I}\left|f_{k}\left(x\right)-f\left(x\right)\right| \end{align*} となり、最右辺の非負性より、
\[ \lim_{k\rightarrow\infty}\sup_{x\in I}\left|f_{k}\left(x\right)-f\left(x\right)\right|=0 \] となり、関数\(f\)に一様収束する。
これは任意の任意の閉区間を\(I=\left[a,b\right]\subseteq S\)について、成り立つので、関数\(f\)に広義一様収束する。
従って、\(\Rightarrow\)が成り立つ。

逆は一般的に成り立たない

反例で示す。
関数列を\(\left(f_{k}:\left(0,1\right]\rightarrow\mathbb{R},x\mapsto1_{\left(0,\frac{1}{k}\right]}\left(x\right)\right)_{k\in\mathbb{N}}\)とする。
このとき、任意の閉区間\(I=\left[a,b\right]\subseteq\left(0,1\right]\)について、
\begin{align*} \lim_{k\rightarrow\infty}\sup_{x\in\left[a,b\right]}\left|f_{k}\left(x\right)-0\right| & =\lim_{k\rightarrow\infty}\sup_{x\in\left[a,b\right]}1_{\left(0,\frac{1}{k}\right]}\left(x\right)\\ & =\lim_{k\rightarrow\infty}0\cmt{\because\frac{1}{a}<k\rightarrow x\notin\left(0,\frac{1}{k}\right]}\\ & =0 \end{align*} となるので、関数0に広義一様収束する。
しかし、
\begin{align*} \lim_{k\rightarrow\infty}\sup_{x\in\left(0,1\right]}\left|f_{k}\left(x\right)-0\right| & =\lim_{k\rightarrow\infty}\sup_{x\in\left(0,1\right]}1_{\left(0,\frac{1}{k}\right]}\left(x\right)\\ & =\lim_{k\rightarrow\infty}1\cmt{\because\forall k\in\mathbb{N},\frac{1}{2k}\in\left(0,1\right]\land\frac{1}{2k}\in\left(0,\frac{1}{k}\right]}\\ & =1 \end{align*} となるので、関数0に一様収束しない。
従って、関数\(f\)に広義一様収束しても関数\(f\)に一様収束するとは限らない。
故に逆は一般的に成り立たない。

-

これらより、題意は成り立つ。

(3)

\(\Rightarrow\)

関数\(f\)に広義一様収束するとき、任意の閉区間\(I=\left[a,b\right]\subseteq S\)について、
\[ \lim_{k\rightarrow\infty}\sup_{x\in I}\left|f_{k}\left(x\right)-f\left(x\right)\right|=0 \] となる。
ここで、前件より関数列\(\left(f_{k}\left(x\right)\right)_{k\in\mathbb{N}}\)は\(f\)に広義一様収束するので、任意の\(x\in S\)について、
\begin{align*} \lim_{k\rightarrow\infty}\left|f_{k}\left(x\right)-f\left(x\right)\right| & =\lim_{k\rightarrow\infty}\sup_{x\in\left[x,x\right]}\left|f_{k}\left(x\right)-f\left(x\right)\right|\\ & =0\cmt{\because f\text{に広義一様収束}} \end{align*} となるので、関数\(f\)に各点収束する。
従って、\(\Rightarrow\)が成り立つ。

逆は一般的に成り立たない。

反例で示す。
関数列を\(\left(f_{k}:\left[-1,1\right]\rightarrow\mathbb{R},x\mapsto1_{\left(0,\frac{1}{k}\right]}\left(x\right)\right)_{k\in\mathbb{N}}\)とする。
このとき、
\begin{align*} \lim_{k\rightarrow\infty}\left|f_{k}\left(x\right)-0\right| & =\lim_{k\rightarrow\infty}1_{\left(0,\frac{1}{k}\right]}\left(x\right)\\ & =0 \end{align*} となる。
しかし、閉区間を\(\left[-1,1\right]\)として、
\begin{align*} \lim_{k\rightarrow\infty}\sup_{x\in\left[-1,1\right]}\left|f_{k}\left(x\right)-0\right| & =\lim_{k\rightarrow\infty}\sup_{x\in\left[-1,1\right]}1_{\left(0,\frac{1}{k}\right]}\left(x\right)\\ & =\lim_{k\rightarrow\infty}1\cmt{\because\frac{1}{2k}<\left[-1,1\right]\land\frac{1}{2k}\in\left(0,\frac{1}{k}\right]}\\ & =1 \end{align*} となるので、関数0に広義一様収束しない。
従って、関数\(f\)に各点収束しても関数\(f\)に広義一様収束するとは限らない。
故に逆は一般的に成り立たない。

-

これらより、題意は成り立つ。

(4)

まず各点収束先の一意性を示す。
\(f\ne g\)として\(f\left(x\right)\)と\(g\left(x\right)\)に各点収束すると仮定する。
このとき、
\[ \lim_{k\rightarrow\infty}\left|f_{k}\left(x\right)-f\left(x\right)\right|=0 \] \[ \lim_{k\rightarrow\infty}\left|f_{k}\left(x\right)-g\left(x\right)\right|=0 \] であるので、
\begin{align*} 0 & =\lim_{k\rightarrow\infty}\left|f_{k}\left(x\right)-f\left(x\right)\right|\\ & =\lim_{k\rightarrow\infty}\left|\left(f_{k}\left(x\right)-g\left(x\right)\right)-\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)\right|\\ & \geq\lim_{k\rightarrow\infty}\left(\left|\left|f_{k}\left(x\right)-g\left(x\right)\right|-\left|f\left(x\right)-g\left(x\right)\right|\right|\right)\cmt{\because\text{逆3角不等式}}\\ & =\left|\lim_{k\rightarrow\infty}\left|f_{k}\left(x\right)-g\left(x\right)\right|-\lim_{k\rightarrow\infty}\left|f\left(x\right)-g\left(x\right)\right|\right|\\ & =\left|0-\left|g\left(x\right)-f\left(x\right)\right|\right|\\ & =\left|g\left(x\right)-f\left(x\right)\right| \end{align*} となり、最右辺の非負性より\(\left|g\left(x\right)-f\left(x\right)\right|=0\)となり、\(f\left(x\right)=g\left(x\right)\)となるが、仮定より\(f\left(x\right)\ne g\left(x\right)\)なので矛盾。
従って背理法より、各点収束するなら一意的になる。
次に広義一様収束先の一意性を示す。
異なる広義一様収束先\(f,g\)が存在すると仮定する。
このとき、\(f\)が広義一様収束先なので\(f\)は各点収束先となり、同様に\(g\)が広義一様収束先なので\(g\)は各点収束先となる。
これより、異なる\(f,g\)が各点収束先になるが、各点収束先の一意性より矛盾。
従って背理法より、広義一様収束先するなら一意的になる。
同様に一様収束先の一意性も示せる。
従って、各点収束先・広義一様収束先・一様収束先は存在しても1つしかない。
故に題意は成り立つ。