各点収束と一様収束と広義一様収束の定義

by nomura · 2024年4月8日

各点収束と一様収束と広義一様収束の定義
関数列\(f_{n}\left(x\right)\)の定義域を\(I\)とする。

(1)各点収束

任意の\(x\in I\)に対して、
\[ \lim_{n\rightarrow\infty}\left|f_{n}\left(x\right)-f\left(x\right)\right|=0 \] つまり、
\[ \lim_{n\rightarrow\infty}f_{n}\left(x\right)=f\left(x\right) \] が成り立つとき、関数列\(f_{n}\left(x\right)\)は\(I\)において関数\(f\left(x\right)\)に各点収束するという。
論理記号では
\[ \forall x\in I,\;\forall\epsilon>0,\;\exists N\in\mathbb{N},\;n\geq N\Rightarrow\left|f_{n}\left(x\right)-f\left(x\right)\right|<\epsilon \] で表される。

(2)一様収束

\[ \lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{x\in I}\left|f_{n}\left(x\right)-f\left(x\right)\right|=0 \] が成り立つとき、関数列\(f_{n}(x)\)は\(I\)において関数\(f(x)\)に一様収束するという。
論理記号では
\[ \forall\epsilon>0,\;\exists N\in\mathbb{N},\;\forall x\in I,\;n\geq N\Rightarrow\left|f_{n}\left(x\right)-f\left(x\right)\right|<\epsilon \] で表される。

(3)広義一様収束

任意の有界閉区間\(\left[a,b\right]\subseteq I\)上で一様収束するとき、関数列\(f_{n}(x)\)は\(I\)において関数\(f(x)\)に広義一様収束するという。

(1)

各点収束では\(N=N\left(x,\epsilon\right)\)となるが、一様収束では\(N=N\left(\epsilon\right)\)となる。

(2)

一様収束の表現である、
\[ \lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{x\in I}\left|f_{n}\left(x\right)-f\left(x\right)\right|=0 \] と
\[ \forall\epsilon>0,\;\exists N\in\mathbb{N},\;\forall x\in I,\;n\geq N\rightarrow\left|f_{n}\left(x\right)-f\left(x\right)\right|<\epsilon \] は同値であることを示す。

\(\Rightarrow\)

前件より、\(\lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{x\in I}\left|f_{n}\left(x\right)-f\left(x\right)\right|=0\)であるので、
\[ \forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},n\geq N\rightarrow\left|\sup_{x\in I}\left|f_{n}\left(x\right)-f\left(x\right)\right|-0\right|<\epsilon \] が成り立ち、\(\left|\sup_{x\in I}\left|f_{n}\left(x\right)-f\left(x\right)\right|-0\right|<\epsilon\)は\(\epsilon>\left|\sup_{x\in I}\left|f_{n}\left(x\right)-f\left(x\right)\right|-0\right|=\sup_{x\in I}\left|f_{n}\left(x\right)-f\left(x\right)\right|\)となる。
また、\(\sup_{x\in I}\left|f_{n}\left(x\right)-f\left(x\right)\right|<\epsilon\)であるとき、任意の\(x\in I\)について、\(\epsilon>\sup_{x\in I}\left|f_{n}\left(x\right)-f\left(x\right)\right|\geq\left|f_{n}\left(x\right)-f\left(x\right)\right|\)となる。
従って、
\begin{align*} & \forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},n\geq N\rightarrow\left|\sup_{x\in I}\left|f_{n}\left(x\right)-f\left(x\right)\right|-0\right|<\epsilon\\ & \forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},n\geq N\rightarrow\forall x\in I,\left|f_{n}\left(x\right)-f\left(x\right)\right|<\epsilon \end{align*} となるので、
\begin{align*} & \forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},n\geq N\rightarrow\forall x\in I,\left|f_{n}\left(x\right)-f\left(x\right)\right|<\epsilon\\ \Leftrightarrow & \forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},\forall x\in I,n\geq N\rightarrow\left|f_{n}\left(x\right)-f\left(x\right)\right|<\epsilon \end{align*} となる。
従って\(\Rightarrow\)が成り立つ。

\(\Leftarrow\)

前件より、
\[ \forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},\forall x\in I,n\geq N\rightarrow\left|f_{n}\left(x\right)-f\left(x\right)\right|<\frac{\epsilon}{2} \] が成り立ち、これは\(n\geq N\)ならば集合\(\left\{ \left|f_{n}\left(x\right)-f\left(x\right)\right|;x\in I\right\} \)の上界の1つは\(\frac{\epsilon}{2}\)であることを表しているので、\(\sup_{x'\in I}\left|f_{n}\left(x'\right)-f\left(x'\right)\right|\leq\frac{\epsilon}{2}\)が成り立つ。
従って、
\begin{align*} & \forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},\forall x\in I,n\geq N\rightarrow\left|f_{n}\left(x\right)-f\left(x\right)\right|<\frac{\epsilon}{2}\\ \Rightarrow & \forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},\forall x\in I,n\geq N\rightarrow\sup_{x'\in I}\left|f_{n}\left(x'\right)-f\left(x'\right)\right|\leq\frac{\epsilon}{2}\\ \Leftrightarrow & \forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},n\geq N\rightarrow\sup_{x'\in I}\left|f_{n}\left(x'\right)-f\left(x'\right)\right|\leq\frac{\epsilon}{2}\\ \Leftrightarrow & \forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},n\geq N\rightarrow\left|\sup_{x\in I}\left|f_{n}\left(x\right)-f\left(x\right)\right|-0\right|\leq\frac{\epsilon}{2}\\ \Leftrightarrow & \lim_{n\rightarrow\infty}\left|\sup_{x\in I}\left|f_{n}\left(x\right)-f\left(x\right)\right|-0\right|=0\\ \Leftrightarrow & \lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{x\in I}\left|f_{n}\left(x\right)-f\left(x\right)\right|=0 \end{align*} となる。
故に\(\Leftarrow\)が成り立つ。

\(\Leftrightarrow\)

これらより\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。

-

次の関数は各点収束するが一様収束しない。
\[ f_{n}\left(x\right)=\begin{cases} n & 0<x<\frac{1}{n}\\ 0 & x\leq0,\frac{1}{n}\leq x \end{cases} \]

各点収束

\begin{align*} f\left(x\right) & =\lim_{n\rightarrow\infty}f_{n}\left(x\right)\\ & =0 \end{align*} となるので各点収束する。

一様収束

\(x=\frac{1}{2n}\)の点は、
\begin{align*} \lim_{n\rightarrow\infty}f_{n}\left(\frac{1}{2n}\right) & =\lim_{n\rightarrow\infty}n\\ & =\infty \end{align*} より、
\begin{align*} \lim_{n\rightarrow\infty}\sup\left|f_{n}\left(x\right)-f\left(x\right)\right| & =\lim_{n\rightarrow\infty}\left|f_{n}\left(\frac{1}{2n}\right)-f\left(\frac{1}{2n}\right)\right|\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\left|n-0\right|\\ & =\infty \end{align*} となるので一様収束しない。

-

\(f_{n}\left(x\right)=x^{n},f\left(x\right)=0\)とすると、関数列\(f_{n}\left(x\right)\)は\(\left(-1,1\right)\)において関数\(f\left(x\right)\)に広義一様収束するが一様収束しない。
何故なら、\(-1<a<1,-1<b<1\)として\(a\leq b\)とすると、\(\left[a,b\right]\subseteq\left(-1,1\right)\)となり
\begin{align*} \lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{a\leq x\leq b}\left|f_{n}\left(x\right)-f\left(x\right)\right| & =\lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{a\leq x\leq b}\left|x^{n}\right|\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\max\left(a^{n},b^{n}\right)\\ & =0 \end{align*} となるので\(\left[a,b\right]\)では一様収束する。
しかし、
\begin{align*} \lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{-1\leq x\leq1}\left|f_{n}\left(x\right)-f\left(x\right)\right| & =\lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{-1\leq x\leq1}\left|x^{n}\right|\\ & =1 \end{align*} となるので\(\left(-1,1\right)\)では一様収束しない。
従って\(\left(-1,1\right)\)では広義一様収束するが一様収束はしない。

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タイトル	各点収束と一様収束と広義一様収束の定義
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