上限・下限・最大元・最小元・上極限・下極限の積
関数\(f,g:\mathbb{R}\rightarrow\overline{\mathbb{R}_{0}^{+}}=\mathbb{R}_{0}^{+}\cup\left\{ +\infty\right\} \)があり、\(\alpha\in\mathbb{R}\cup\left\{ \pm\infty\right\} ,I\subseteq\mathbb{R}\)とする。
上限・下限
最大元・最小元
\[ \max_{x\in I}\left(f\left(x\right)g\left(x\right)\right)\leq\left(\max_{x\in I}f\left(x\right)\right)\left(\max_{x\in I}g\left(x\right)\right) \]
\[ \left(\min_{x\in I}f\left(x\right)\right)\left(\min_{x\in I}g\left(x\right)\right)\leq\min_{x\in I}\left(f\left(x\right)g\left(x\right)\right) \]
上極限・下極限
関数\(f,g:\mathbb{R}\rightarrow\overline{\mathbb{R}_{0}^{+}}=\mathbb{R}_{0}^{+}\cup\left\{ +\infty\right\} \)があり、\(\alpha\in\mathbb{R}\cup\left\{ \pm\infty\right\} ,I\subseteq\mathbb{R}\)とする。
上限・下限
(1)上限
\[ \sup_{x\in I}\left(f\left(x\right)g\left(x\right)\right)\leq\left(\sup_{x\in I}f\left(x\right)\right)\left(\sup_{x\in I}g\left(x\right)\right) \](2)下限
\[ \left(\inf_{x\in I}f\left(x\right)\right)\left(\inf_{x\in I}g\left(x\right)\right)\leq\inf_{x\in I}\left(f\left(x\right)g\left(x\right)\right) \]最大元・最小元
(3)最大元
\(I\ne\emptyset\)として、\(\max_{x\in I}f\left(x\right),\max_{x\in I}g\left(x\right),\max_{x\in I}\left(f\left(x\right)g\left(x\right)\right)\)が存在するとする。\[ \max_{x\in I}\left(f\left(x\right)g\left(x\right)\right)\leq\left(\max_{x\in I}f\left(x\right)\right)\left(\max_{x\in I}g\left(x\right)\right) \]
(4)最小元
\(I\ne\emptyset\)として、\(\min_{x\in I}f\left(x\right),\min_{x\in I}g\left(x\right),\min_{x\in I}\left(f\left(x\right)g\left(x\right)\right)\)が存在するとする。\[ \left(\min_{x\in I}f\left(x\right)\right)\left(\min_{x\in I}g\left(x\right)\right)\leq\min_{x\in I}\left(f\left(x\right)g\left(x\right)\right) \]
上極限・下極限
(5)上極限
\[ \limsup_{x\rightarrow\alpha}\left(f\left(x\right)g\left(x\right)\right)\leq\left(\limsup_{x\rightarrow\alpha}f\left(x\right)\right)\left(\limsup_{x\rightarrow\alpha}g\left(x\right)\right) \](6)下極限
\[ \left(\liminf_{x\rightarrow\alpha}f\left(x\right)\right)\left(\liminf_{x\rightarrow\alpha}g\left(x\right)\right)\leq\left(\liminf_{x\rightarrow\alpha}\left(f\left(x\right)g\left(x\right)\right)\right) \](1)
(1)で等号が成り立たない例\(f,g\)を\(f:\left\{ 1,2\right\} \rightarrow\mathbb{R},n\mapsto\delta_{1,n}\)と\(g:\left\{ 1,2\right\} \rightarrow\mathbb{R},n\mapsto\delta_{2,n}\)とすると、\(\sup_{n\in\left\{ 1,2\right\} }f\left(n\right)=1,\sup_{n\in\left\{ 1,2\right\} }g\left(n\right)=1,\sup_{n\in\left\{ 1,2\right\} }\left(f\left(n\right)g\left(n\right)\right)=\sup_{n\in\left\{ 1,2\right\} }\left(\delta_{1,n}\delta_{2,n}\right)=0\)となり、
\begin{align*} \sup_{n\in\left\{ 1,2\right\} }f\left(n\right)\sup_{n\in\left\{ 1,2\right\} }g\left(n\right) & =1\\ & >0\\ & =\sup_{n\in\left\{ 1,2\right\} }\left(f\left(n\right)g\left(n\right)\right) \end{align*} となるので、等号が成り立たない。
(2)
\(\forall x\in I,0\leq f\left(x\right),0\leq g\left(x\right)\)の条件がないと成り立ちません。\(f,g\)を\(f:\left\{ 1,2\right\} \rightarrow\mathbb{R}\)と\(g:\left\{ 1,2\right\} \rightarrow\mathbb{R}\)とする
例えば(1)は、\(f\left(n\right)=g\left(n\right)=-\delta_{1,n}\)とすると左辺は\(\sup_{n\in\left\{ 1,2\right\} }\left(f\left(n\right)g\left(n\right)\right)=\sup_{n\in\left\{ 1,2\right\} }\left(\delta_{1,n}\delta_{1,n}\right)=1\)となり、右辺は\(\sup_{n\in\left\{ 1,2\right\} }f\left(n\right)\sup_{n\in\left\{ 1,2\right\} }g\left(n\right)=\sup_{n\in\left\{ 1,2\right\} }\left(-\delta_{1,n}\right)\sup_{n\in\left\{ 1,2\right\} }\left(-\delta_{1,n}\right)=0\)となり\(\sup_{n\in\left\{ 1,2\right\} }\left(f\left(n\right)g\left(n\right)\right)=1>0=\sup_{n\in\left\{ 1,2\right\} }f\left(n\right)\sup_{n\in\left\{ 1,2\right\} }g\left(n\right)\)となるからである。
(2)は\(f\left(n\right)=g\left(n\right)=-\delta_{1,n}\)とすると左辺は\(\inf_{n\in\left\{ 1,2\right\} }f\left(n\right)\inf_{n\in\left\{ 1,2\right\} }g\left(n\right)=\inf_{n\in\left\{ 1,2\right\} }\left(-\delta_{1,n}\right)\inf_{n\in\left\{ 1,2\right\} }\left(-\delta_{1,n}\right)=\left(-1\right)\cdot\left(-1\right)=1\)となり右辺は\(\inf_{n\in\left\{ 1,2\right\} }\left(f\left(n\right)g\left(n\right)\right)=\inf_{n\in\left\{ 1,2\right\} }\left(\delta_{1,n}\delta_{1,n}\right)=0\)となり\(\inf_{n\in\left\{ 1,2\right\} }f\left(n\right)\inf_{n\in\left\{ 1,2\right\} }g\left(n\right)=1>0=\inf_{n\in\left\{ 1,2\right\} }\left(f\left(n\right)g\left(n\right)\right)\)となるからである。
(3)
\(\max_{x\in I}f\left(x\right),\max_{x\in I}f\left(x\right)\)が存在しても\(\max_{x\in I}\left(f\left(x\right)g\left(x\right)\right)\)が存在するとは限りません。同様に\(\min_{x\in I}f\left(x\right),\min_{x\in I}f\left(x\right)\)が存在しても\(\min_{x\in I}\left(f\left(x\right)g\left(x\right)\right)\)が存在するとは限りません。
反例で示す。
関数\(f\)を\(f:\mathbb{N}\rightarrow\overline{\mathbb{R}_{0}^{+}},n\mapsto\delta_{1,n}-\frac{1}{2}\delta_{2,n}+2-\frac{1}{n}\)として、関数\(g\)を\(f:\mathbb{N}\rightarrow\overline{\mathbb{R}_{0}^{+}},n\mapsto-\left(\delta_{1,n}-\frac{1}{2}\delta_{2,n}\right)+2-\frac{1}{n}\)とする。
このとき、\(\max_{n\in\mathbb{N}}f\left(n\right)=f\left(1\right)=2,\max_{n\in\mathbb{N}}g\left(n\right)=g\left(2\right)=2\)となるが、
\begin{align*} \max_{n\in\mathbb{N}}\left(f\left(n\right)g\left(n\right)\right) & =\max_{n\in\mathbb{N}}\left(\left(\delta_{1,n}-\frac{1}{2}\delta_{2,n}+2-\frac{1}{n}\right)\left(-\left(\delta_{1,n}-\frac{1}{2}\delta_{2,n}\right)+2-\frac{1}{n}\right)\right)\\ & =\max_{n\in\mathbb{N}}\left(\left(2-\frac{1}{n}\right)^{2}-\left(\delta_{1,n}-\frac{1}{2}\delta_{2,n}\right)^{2}\right) \end{align*} となり、\(\max_{n\in\mathbb{N}}\left(f\left(n\right)g\left(n\right)\right)\)は存在しない。
従って、\(\max_{x\in I}f\left(x\right),\max_{x\in I}f\left(x\right)\)が存在しても\(\max_{x\in I}\left(f\left(x\right)g\left(x\right)\right)\)が存在するとは限らない。
(4)
\(\max_{x\in I}f\left(x\right),\max_{x\in I}f\left(x\right)g\left(x\right)\)が存在しても\(\max_{x\in I}g\left(x\right)\)が存在するとは限りません。同様に\(\min_{x\in I}f\left(x\right),\min_{x\in I}f\left(x\right)g\left(x\right)\)が存在しても\(\min_{x\in I}g\left(x\right)\)が存在するとは限りません。
反例で示す。
関数\(f\)を\(f:\mathbb{N}\rightarrow\overline{\mathbb{R}_{0}^{+}},n\mapsto\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{-1}\)として、関数\(g\)を\(f:\mathbb{N}\rightarrow\overline{\mathbb{R}_{0}^{+}},n\mapsto1-\frac{1}{n+1}\)とする。
このとき、\(\max_{n\in\mathbb{N}}f\left(n\right)=f\left(1\right)=\frac{1}{2},\max_{n\in\mathbb{N}}f\left(n\right)g\left(n\right)=\max_{n\in\mathbb{N}}1=1\)となるが、
\begin{align*} \max_{n\in\mathbb{N}}\left(g\left(n\right)\right) & =\max_{n\in\mathbb{N}}\left(1-\frac{1}{n+1}\right) \end{align*} は存在しない。
従って、\(\max_{x\in I}f\left(x\right),\max_{x\in I}f\left(x\right)\)が存在しても\(\max_{x\in I}\left(f\left(x\right)g\left(x\right)\right)\)が存在するとは限らない。
(1)
\(I=\emptyset\)のときは成り立つので、\(I\ne\emptyset\)の場合を考える。任意の\(x\in I\)について、\(0\leq f\left(x\right)\leq\sup_{x\in I}f\left(x\right),0\leq g\left(x\right)\leq\sup_{x\in I}g\left(x\right)\)となる。
これより、
\[ f\left(x\right)g\left(x\right)\leq\left(\sup_{x\in I}f\left(x\right)\right)\left(\sup_{x\in I}g\left(x\right)\right) \] となり、これは任意の\(x\in I\)で成り立っているので、
\[ \sup_{x\in I}\left(f\left(x\right)g\left(x\right)\right)\leq\left(\sup_{x\in I}f\left(x\right)\right)\left(\sup_{x\in I}g\left(x\right)\right) \] となる。
従って題意は成り立つ。
(2)
\(I=\emptyset\)のときは成り立つので、\(I\ne\emptyset\)の場合を考える。任意の\(x\in I\)について、\(0\leq\inf_{x\in I}f\left(x\right)\leq f\left(x\right),0\leq\inf_{x\in I}g\left(x\right)\leq g\left(x\right)\)となる。
これより、
\[ f\left(x\right)g\left(x\right)\geq\left(\inf_{x\in I}f\left(x\right)\right)\left(\inf_{x\in I}g\left(x\right)\right) \] となり、これは任意の\(x\in I\)で成り立っているので、
\[ \inf_{x\in I}\left(f\left(x\right)g\left(x\right)\right)\geq\left(\inf_{x\in I}f\left(x\right)\right)\left(\inf_{x\in I}g\left(x\right)\right) \] となる。
従って題意は成り立つ。
(3)
任意の\(x\in I\)について、\(0\leq f\left(x\right)\leq\max_{x\in I}f\left(x\right),0\leq g\left(x\right)\leq\max_{x\in I}g\left(x\right)\)となる。これより、
\[ f\left(x\right)g\left(x\right)\leq\left(\max_{x\in I}f\left(x\right)\right)\left(\max_{x\in I}g\left(x\right)\right) \] となり、これは任意の\(x\in I\)で成り立っているので、
\[ \max_{x\in I}\left(f\left(x\right)g\left(x\right)\right)\leq\left(\max_{x\in I}f\left(x\right)\right)\left(\max_{x\in I}g\left(x\right)\right) \] となる。
従って題意は成り立つ。
(4)
任意の\(x\in I\)について、\(0\leq\min_{x\in I}f\left(x\right)\leq f\left(x\right),0\leq\min_{x\in I}g\left(x\right)\leq g\left(x\right)\)となる。これより、
\[ f\left(x\right)g\left(x\right)\geq\left(\min_{y\in I}f\left(y\right)\right)\left(\min_{y\in I}g\left(y\right)\right) \] となり、これは任意の\(x\in I\)で成り立っているので、
\begin{align*} \min_{x\in I}\left(f\left(x\right)g\left(x\right)\right) & \geq\left(\min_{x\in I}f\left(x\right)\right)\left(\min_{x\in I}g\left(x\right)\right) \end{align*} となる。
従って題意は成り立つ。
(5)
(1)より、\begin{align*} \limsup_{x\rightarrow\alpha}\left(f\left(x\right)g\left(x\right)\right) & =\lim_{\delta\rightarrow+0}\sup_{x\in B\left(\alpha,\delta\right)\setminus\left\{ \alpha\right\} }\left(f\left(x\right)g\left(x\right)\right)\\ & \leq\lim_{\delta\rightarrow+0}\left(\left(\sup_{x\in B\left(\alpha,\delta\right)\setminus\left\{ \alpha\right\} }f\left(x\right)\right)\left(\sup_{x\in B\left(\alpha,\delta\right)\setminus\left\{ \alpha\right\} }g\left(x\right)\right)\right)\\ & =\left(\lim_{\delta\rightarrow+0}\sup_{x\in B\left(\alpha,\delta\right)\setminus\left\{ \alpha\right\} }f\left(x\right)\right)\left(\lim_{\delta\rightarrow+0}\sup_{x\in B\left(\alpha,\delta\right)\setminus\left\{ \alpha\right\} }g\left(x\right)\right)\\ & =\limsup_{x\rightarrow\alpha}f\left(x\right)\limsup_{x\rightarrow\alpha}g\left(x\right) \end{align*} となるので題意は成り立つ。
(6)
(2)より、\begin{align*} \liminf_{x\rightarrow\alpha}\left(f\left(x\right)g\left(x\right)\right) & =\lim_{\delta\rightarrow+0}\inf_{x\in B\left(\alpha,\delta\right)\setminus\left\{ \alpha\right\} }\left(f\left(x\right)g\left(x\right)\right)\\ & \leq\lim_{\delta\rightarrow+0}\left(\left(\inf_{x\in B\left(\alpha,\delta\right)\setminus\left\{ \alpha\right\} }f\left(x\right)\right)\left(\inf_{x\in B\left(\alpha,\delta\right)\setminus\left\{ \alpha\right\} }g\left(x\right)\right)\right)\\ & =\left(\lim_{\delta\rightarrow+0}\inf_{x\in B\left(\alpha,\delta\right)\setminus\left\{ \alpha\right\} }f\left(x\right)\right)\left(\lim_{\delta\rightarrow+0}\inf_{x\in B\left(\alpha,\delta\right)\setminus\left\{ \alpha\right\} }g\left(x\right)\right)\\ & =\liminf_{x\rightarrow\alpha}f\left(x\right)\liminf_{x\rightarrow\alpha}g\left(x\right) \end{align*} となるので題意は成り立つ。
ページ情報
| タイトル | 上限・下限・最大元・最小元・上極限・下極限の積 |
| URL | https://www.nomuramath.com/i0bi6pim/ |
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数列の極限での大小関係
\[
a_{n}<b_{n}\Rightarrow a\leq b
\]
合成関数の導関数・偏導関数
\[
\frac{df}{dt}=\sum_{k=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_{k}}\frac{dx_{k}}{dt}
\]
偏微分の順序交換(シュワルツの定理)
\[
\frac{\partial^{2}f\left(x,y\right)}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^{2}f\left(x,y\right)}{\partial y\partial x}
\]
C1級・全微分可能・偏微分可能・連続の関係
\[
C^{1}\text{級}\Rightarrow\text{全微分可能}\Rightarrow\text{偏微分可能}
\]