実関数・実数列の上極限と下極限の定義
実関数
実関数\(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\)があるとする。
または、\(\alpha\)の除外近傍\(U_{\alpha}\setminus\left\{ \alpha\right\} \)での\(f\left(x\right)\)の上限の下限で定義される。
式では
\begin{align*} \limsup_{x\rightarrow\alpha}f\left(x\right) & :=\lim_{\delta\rightarrow+0}\sup_{x\in B\left(\alpha,\delta\right)}f\left(x\right)\\ & =\begin{cases} \lim_{r\rightarrow+0}\sup_{x\in B\left(\alpha,r\right)\setminus\left\{ \alpha\right\} }f\left(x\right) & \alpha\in\mathbb{R}\\ \lim_{r\rightarrow+\infty}\sup_{x\in\left(r,+\infty\right)}f\left(x\right) & \alpha=+\infty\\ \lim_{r\rightarrow-\infty}\sup_{x\in\left(-\infty,r\right)}f\left(x\right) & \alpha=-\infty \end{cases}\\ & =\begin{cases} \lim_{r\rightarrow+0}\sup_{0<\left|x-\alpha\right|<r}f\left(x\right) & \alpha\in\mathbb{R}\\ \lim_{r\rightarrow\pm\infty}\sup_{\pm x>r}f\left(x\right) & \alpha=\pm\infty \end{cases} \end{align*} と表されます。
\(\alpha\in\mathbb{R}\)のときは\(\sup_{x\in B\left(\alpha,r\right)\setminus\left\{ a\right\} }\)が\(r\)について単調増大列で、\(\alpha=\pm\infty\)のときは\(\sup_{k\geq r}f\left(x\right)\)は\(r\)について単調減少列なので
\begin{align*} \limsup_{n\rightarrow\alpha}a_{n} & =\begin{cases} \inf_{r>0}\sup_{x\in B\left(\alpha,r\right)\setminus\left\{ \alpha\right\} }f\left(x\right) & \alpha\in\mathbb{R}\\ \inf_{r>0}\sup_{\pm x\geq r}f\left(x\right) & \alpha=\pm\infty \end{cases}\\ & =\begin{cases} \inf\left\{ \sup\left\{ f\left(x\right);x\in B\left(\alpha,r\right)\setminus\left\{ \alpha\right\} \right\} ;0<r\right\} & \alpha\in\mathbb{R}\\ \inf\left\{ \sup\left\{ f\left(x\right);r<\pm x\right\} ;0<r\right\} & \alpha=\pm\infty \end{cases} \end{align*} と同じである。
1, 任意の\(\epsilon>0\)について、ある\(\delta>0\)が存在し、\(0<\left|x-\alpha\right|<\delta\)ならば\(f\left(x\right)<\beta+\epsilon\)となる。
2, 任意の\(\epsilon>0\)と\(\delta>0\)について、ある\(x\in\mathbb{R}\)が存在し、\(0<\left|x-\alpha\right|<\delta\)かつ\(\beta-\epsilon<f\left(x\right)\)となる。
1, 任意の\(M\in\mathbb{R}\)と\(\delta>0\)について、ある\(x\in\mathbb{R}\)が存在し、\(0<\left|x-\alpha\right|<\delta\)かつ\(M<f\left(x\right)\)となる。
1, 任意の\(M\in\mathbb{R}\)について、ある\(\delta>0\)が存在し、\(0<\left|x-\alpha\right|<\delta\)ならば\(f\left(x\right)<M\)となる。
この条件は\(\lim_{x\rightarrow\alpha}f\left(x\right)=-\infty\)と同値である。
1, 任意の\(\epsilon>0\)について、ある\(R>0\)が存在し、\(R<\pm x\)ならば\(f\left(x\right)<\beta+\epsilon\)となる。
2, 任意の\(\epsilon>0\)と\(R>0\)について、ある\(x\in\mathbb{R}\)が存在し、\(R<\pm x\)かつ\(\beta-\epsilon<f\left(x\right)\)となる。
1, 任意の\(M\in\mathbb{R}\)と\(R>0\)について、ある\(x\in\mathbb{R}\)が存在し、\(R<\pm x\)かつ\(M<f\left(x\right)\)となる。
1, 任意の\(M\in\mathbb{R}\)について、ある\(R>0\)が存在し、\(R<\pm x\)ならば\(f\left(x\right)<M\)となる。
または、\(\alpha\)の除外近傍\(U_{\alpha}\setminus\left\{ \alpha\right\} \)での\(f\left(x\right)\)の下限の上限で定義される。
式では
\begin{align*} \liminf_{x\rightarrow\alpha}f\left(x\right) & :=\lim_{\delta\rightarrow+0}\inf_{x\in B\left(\alpha,\delta\right)}f\left(x\right)\\ & =\begin{cases} \lim_{r\rightarrow+0}\inf_{x\in B\left(\alpha,r\right)\setminus\left\{ \alpha\right\} }f\left(x\right) & \alpha\in\mathbb{R}\\ \lim_{r\rightarrow+\infty}\inf_{x\in\left(r,\infty\right)}f\left(x\right) & \alpha=+\infty\\ \lim_{r\rightarrow-\infty}\inf_{x\in\left(-\infty,r\right)}f\left(x\right) & \alpha=-\infty \end{cases}\\ & =\begin{cases} \lim_{r\rightarrow+0}\inf_{0<\left|x-\alpha\right|<r}f\left(x\right) & \alpha\in\mathbb{R}\\ \lim_{r\rightarrow\pm\infty}\inf_{\pm x>r}f\left(x\right) & \alpha=\pm\infty \end{cases} \end{align*} と表されます。
\(\alpha\in\mathbb{R}\)のときは\(\inf_{x\in B\left(\alpha,r\right)\setminus\left\{ a\right\} }\)が\(r\)について単調減少で、\(\alpha=\pm\infty\)のときは\(\inf_{k\geq r}f\left(x\right)\)は\(r\)について単調増大なので
\begin{align*} \liminf_{n\rightarrow\alpha}a_{n} & =\begin{cases} \sup_{r>0}\inf_{x\in B\left(\alpha,r\right)\setminus\left\{ \alpha\right\} }f\left(x\right) & \alpha\in\mathbb{R}\\ \sup_{r>0}\inf_{\pm x\geq r}f\left(x\right) & \alpha=\pm\infty \end{cases}\\ & =\begin{cases} \sup\left\{ \inf\left\{ f\left(x\right);x\in B\left(\alpha,r\right)\setminus\left\{ \alpha\right\} \right\} ;0<r\right\} & \alpha\in\mathbb{R}\\ \sup\left\{ \inf\left\{ f\left(x\right);r<\pm x\right\} ;0<r\right\} & \alpha=\pm\infty \end{cases} \end{align*} と同じである。
1, 任意の\(\epsilon>0\)について、ある\(\delta>0\)が存在し、\(0<\left|x-\alpha\right|<\delta\)ならば\(\beta+\epsilon<f\left(x\right)\)となる。
2, 任意の\(\epsilon>0\)と\(\delta>0\)について、ある\(x\in\mathbb{R}\)が存在し、\(0<\left|x-\alpha\right|<\delta\)かつ\(f\left(x\right)<\beta-\epsilon\)となる。
1, 任意の\(M\in\mathbb{R}\)と\(\delta>0\)について、ある\(x\in\mathbb{R}\)が存在し、\(0<\left|x-\alpha\right|<\delta\)かつ\(f\left(x\right)<M\)となる。
1, 任意の\(M\in\mathbb{R}\)について、ある\(\delta>0\)が存在し、\(0<\left|x-\alpha\right|<\delta\)ならば\(M<f\left(x\right)\)となる。
この条件は\(\lim_{x\rightarrow\alpha}f\left(x\right)=+\infty\)と同値である。
1, 任意の\(\epsilon>0\)について、ある\(R>0\)が存在し、\(R<\pm x\)ならば\(\beta-\epsilon<f\left(x\right)\)となる。
2, 任意の\(\epsilon>0\)と\(R>0\)について、ある\(x\in\mathbb{R}\)が存在し、\(R<\pm x\)かつ\(f\left(x\right)<\beta+\epsilon\)となる。
1, 任意の\(M\in\mathbb{R}\)と\(R>0\)について、ある\(x\in\mathbb{R}\)が存在し、\(R<\pm x\)かつ\(f\left(x\right)<M\)となる。
1, 任意の\(M\in\mathbb{R}\)について、ある\(R>0\)が存在し、\(R<\pm x\)ならば\(M<f\left(x\right)\)となる。
実数列
実数列\(\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\subseteq\mathbb{R}\)があるとする。
または、\(\infty\)の除外近傍\(U_{\infty}\setminus\left\{ \infty\right\} =\left\{ N,N+1,\cdots\right\} \)での\(a_{n}\)の上限の下限で定義される。
式では
\begin{align*} \limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n} & :=\lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{k\in\left\{ n,n+1,\cdots\right\} }a_{k}\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{k\geq n}a_{k} \end{align*} で表される。
\(\sup_{k\geq n}a_{k}\)は\(n\)について単調減少列なので
\begin{align*} \limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n} & =\inf_{n\in\mathbb{N}}\sup_{k\geq n}a_{k}\\ & =\inf\left\{ \sup\left\{ a_{k};k\geq n\right\} ;n\in\mathbb{N}\right\} \end{align*} と同じである。
1, 任意の\(\epsilon>0\)について、ある自然数\(N\in\mathbb{N}\)が存在し、\(N\leq n\)ならば\(a_{n}<\beta+\epsilon\)となる。
2, 任意の\(\epsilon>0\)と自然数\(N\in\mathbb{N}\)について、ある自然数\(n\in\mathbb{N}\)が存在し、\(N\leq n\)かつ\(\beta-\epsilon<a_{n}\)となる。
1, 任意の\(M\in\mathbb{R}\)と自然数\(N\in\mathbb{N}\)について、ある自然数\(n\in\mathbb{N}\)が存在し、\(N\leq n\)かつ\(M<a_{n}\)となる。
1, 任意の\(M\in\mathbb{R}\)について、ある自然数\(N\in\mathbb{N}\)が存在し、\(N\leq n\)ならば\(a_{n}<M\)となる。
または、\(\infty\)の除外近傍\(U_{\infty}\setminus\left\{ \infty\right\} =\left\{ N,N+1,\cdots\right\} \)での\(a_{n}\)の下限の上限で定義される。
式では
\begin{align*} \liminf_{n\rightarrow\infty}a_{n} & :=\lim_{n\rightarrow\infty}\inf_{k\in\left\{ n,n+1,\cdots\right\} }a_{k}\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\inf_{k\geq n}a_{k} \end{align*} で表されます。
\(\inf_{k\geq n}a_{k}\)は\(n\)について単調増加列なので
\begin{align*} \liminf_{n\rightarrow\infty}a_{n} & =\sup_{n\in\mathbb{N}}\inf_{k\geq n}a_{k}\\ & =\sup\left\{ \inf\left\{ a_{k};k\geq n\right\} ;n\in\mathbb{N}\right\} \end{align*} と同じである。
1, 任意の\(\epsilon>0\)について、ある自然数\(N\in\mathbb{N}\)が存在し、\(N\leq n\)ならば\(\beta-\epsilon<a_{n}\)となる。
2, 任意の\(\epsilon>0\)と自然数\(N\in\mathbb{N}\)について、ある自然数\(n\in\mathbb{N}\)が存在し、\(N\leq n\)かつ\(a_{n}<\beta+\epsilon\)となる。
1, 任意の\(M\in\mathbb{R}\)と自然数\(N\in\mathbb{N}\)について、ある自然数\(n\in\mathbb{N}\)が存在し、\(N\leq n\)かつ\(a_{n}<M\)となる。
1, 任意の\(M\in\mathbb{R}\)について、ある自然数\(N\in\mathbb{N}\)が存在し、\(N\leq n\)ならば\(M<a_{n}\)となる。
実関数
実関数\(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\)があるとする。
(1)実関数での上極限の定義
実関数\(f\left(x\right)\)の上極限\(\limsup_{x\rightarrow\alpha}f\left(x\right)\)は\(\alpha\)の除外近傍\(U_{\alpha}\setminus\left\{ \alpha\right\} \)をどんどん小さくしていったときの\(f\left(x\right)\)の上限の極限で定義される。または、\(\alpha\)の除外近傍\(U_{\alpha}\setminus\left\{ \alpha\right\} \)での\(f\left(x\right)\)の上限の下限で定義される。
式では
\begin{align*} \limsup_{x\rightarrow\alpha}f\left(x\right) & :=\lim_{\delta\rightarrow+0}\sup_{x\in B\left(\alpha,\delta\right)}f\left(x\right)\\ & =\begin{cases} \lim_{r\rightarrow+0}\sup_{x\in B\left(\alpha,r\right)\setminus\left\{ \alpha\right\} }f\left(x\right) & \alpha\in\mathbb{R}\\ \lim_{r\rightarrow+\infty}\sup_{x\in\left(r,+\infty\right)}f\left(x\right) & \alpha=+\infty\\ \lim_{r\rightarrow-\infty}\sup_{x\in\left(-\infty,r\right)}f\left(x\right) & \alpha=-\infty \end{cases}\\ & =\begin{cases} \lim_{r\rightarrow+0}\sup_{0<\left|x-\alpha\right|<r}f\left(x\right) & \alpha\in\mathbb{R}\\ \lim_{r\rightarrow\pm\infty}\sup_{\pm x>r}f\left(x\right) & \alpha=\pm\infty \end{cases} \end{align*} と表されます。
\(\alpha\in\mathbb{R}\)のときは\(\sup_{x\in B\left(\alpha,r\right)\setminus\left\{ a\right\} }\)が\(r\)について単調増大列で、\(\alpha=\pm\infty\)のときは\(\sup_{k\geq r}f\left(x\right)\)は\(r\)について単調減少列なので
\begin{align*} \limsup_{n\rightarrow\alpha}a_{n} & =\begin{cases} \inf_{r>0}\sup_{x\in B\left(\alpha,r\right)\setminus\left\{ \alpha\right\} }f\left(x\right) & \alpha\in\mathbb{R}\\ \inf_{r>0}\sup_{\pm x\geq r}f\left(x\right) & \alpha=\pm\infty \end{cases}\\ & =\begin{cases} \inf\left\{ \sup\left\{ f\left(x\right);x\in B\left(\alpha,r\right)\setminus\left\{ \alpha\right\} \right\} ;0<r\right\} & \alpha\in\mathbb{R}\\ \inf\left\{ \sup\left\{ f\left(x\right);r<\pm x\right\} ;0<r\right\} & \alpha=\pm\infty \end{cases} \end{align*} と同じである。
(2)実関数での\(\epsilon\delta\)論法による上極限の定義
\(\limsup_{x\rightarrow\alpha}f\left(x\right)=\beta\)を\(\epsilon\delta\)論法で表すと次のようになる。\(\alpha\in\mathbb{R},\beta\in\mathbb{R}\)のとき
次の2条件を満たすとき、\(\limsup_{x\rightarrow\alpha}f\left(x\right)=\beta\)となる。1, 任意の\(\epsilon>0\)について、ある\(\delta>0\)が存在し、\(0<\left|x-\alpha\right|<\delta\)ならば\(f\left(x\right)<\beta+\epsilon\)となる。
2, 任意の\(\epsilon>0\)と\(\delta>0\)について、ある\(x\in\mathbb{R}\)が存在し、\(0<\left|x-\alpha\right|<\delta\)かつ\(\beta-\epsilon<f\left(x\right)\)となる。
\(\alpha\in\mathbb{R},\beta=+\infty\)のとき
次の1条件を満たすとき、\(\limsup_{x\rightarrow\alpha}f\left(x\right)=\beta\)となる。1, 任意の\(M\in\mathbb{R}\)と\(\delta>0\)について、ある\(x\in\mathbb{R}\)が存在し、\(0<\left|x-\alpha\right|<\delta\)かつ\(M<f\left(x\right)\)となる。
\(\alpha\in\mathbb{R},\beta=-\infty\)のとき
次の1条件を満たすとき、\(\limsup_{x\rightarrow\alpha}f\left(x\right)=\beta\)となる。1, 任意の\(M\in\mathbb{R}\)について、ある\(\delta>0\)が存在し、\(0<\left|x-\alpha\right|<\delta\)ならば\(f\left(x\right)<M\)となる。
この条件は\(\lim_{x\rightarrow\alpha}f\left(x\right)=-\infty\)と同値である。
\(\alpha=\pm\infty,\beta\in\mathbb{R}\)のとき
次の2条件を満たすとき、\(\limsup_{x\rightarrow\alpha}f\left(x\right)=\beta\)となる。1, 任意の\(\epsilon>0\)について、ある\(R>0\)が存在し、\(R<\pm x\)ならば\(f\left(x\right)<\beta+\epsilon\)となる。
2, 任意の\(\epsilon>0\)と\(R>0\)について、ある\(x\in\mathbb{R}\)が存在し、\(R<\pm x\)かつ\(\beta-\epsilon<f\left(x\right)\)となる。
\(\alpha=\pm\infty,\beta=+\infty\)のとき
次の1条件を満たすとき、\(\limsup_{x\rightarrow\alpha}f\left(x\right)=\beta\)となる。1, 任意の\(M\in\mathbb{R}\)と\(R>0\)について、ある\(x\in\mathbb{R}\)が存在し、\(R<\pm x\)かつ\(M<f\left(x\right)\)となる。
\(\alpha=\pm\infty,\beta=-\infty\)のとき
次の1条件を満たすとき、\(\limsup_{x\rightarrow\alpha}f\left(x\right)=\beta\)となる。1, 任意の\(M\in\mathbb{R}\)について、ある\(R>0\)が存在し、\(R<\pm x\)ならば\(f\left(x\right)<M\)となる。
(3)実関数での下極限の定義
実関数\(f\left(x\right)\)の下極限\(\liminf_{x\rightarrow\alpha}f\left(x\right)\)は\(\alpha\)の除外近傍\(U_{\alpha}\setminus\left\{ \alpha\right\} \)をどんどん小さくしていったときの\(f\left(x\right)\)の下限の極限で定義される。または、\(\alpha\)の除外近傍\(U_{\alpha}\setminus\left\{ \alpha\right\} \)での\(f\left(x\right)\)の下限の上限で定義される。
式では
\begin{align*} \liminf_{x\rightarrow\alpha}f\left(x\right) & :=\lim_{\delta\rightarrow+0}\inf_{x\in B\left(\alpha,\delta\right)}f\left(x\right)\\ & =\begin{cases} \lim_{r\rightarrow+0}\inf_{x\in B\left(\alpha,r\right)\setminus\left\{ \alpha\right\} }f\left(x\right) & \alpha\in\mathbb{R}\\ \lim_{r\rightarrow+\infty}\inf_{x\in\left(r,\infty\right)}f\left(x\right) & \alpha=+\infty\\ \lim_{r\rightarrow-\infty}\inf_{x\in\left(-\infty,r\right)}f\left(x\right) & \alpha=-\infty \end{cases}\\ & =\begin{cases} \lim_{r\rightarrow+0}\inf_{0<\left|x-\alpha\right|<r}f\left(x\right) & \alpha\in\mathbb{R}\\ \lim_{r\rightarrow\pm\infty}\inf_{\pm x>r}f\left(x\right) & \alpha=\pm\infty \end{cases} \end{align*} と表されます。
\(\alpha\in\mathbb{R}\)のときは\(\inf_{x\in B\left(\alpha,r\right)\setminus\left\{ a\right\} }\)が\(r\)について単調減少で、\(\alpha=\pm\infty\)のときは\(\inf_{k\geq r}f\left(x\right)\)は\(r\)について単調増大なので
\begin{align*} \liminf_{n\rightarrow\alpha}a_{n} & =\begin{cases} \sup_{r>0}\inf_{x\in B\left(\alpha,r\right)\setminus\left\{ \alpha\right\} }f\left(x\right) & \alpha\in\mathbb{R}\\ \sup_{r>0}\inf_{\pm x\geq r}f\left(x\right) & \alpha=\pm\infty \end{cases}\\ & =\begin{cases} \sup\left\{ \inf\left\{ f\left(x\right);x\in B\left(\alpha,r\right)\setminus\left\{ \alpha\right\} \right\} ;0<r\right\} & \alpha\in\mathbb{R}\\ \sup\left\{ \inf\left\{ f\left(x\right);r<\pm x\right\} ;0<r\right\} & \alpha=\pm\infty \end{cases} \end{align*} と同じである。
(4)実関数での \(\epsilon\delta\)論法による下極限の定義
\(\liminf_{x\rightarrow\alpha}f\left(x\right)=\beta\)を\(\epsilon M\)論法で表すと次のようになる。\(\alpha\in\mathbb{R},\beta\in\mathbb{R}\)のとき
次の2条件を満たすとき、\(\liminf_{x\rightarrow\alpha}f\left(x\right)=\beta\)となる。1, 任意の\(\epsilon>0\)について、ある\(\delta>0\)が存在し、\(0<\left|x-\alpha\right|<\delta\)ならば\(\beta+\epsilon<f\left(x\right)\)となる。
2, 任意の\(\epsilon>0\)と\(\delta>0\)について、ある\(x\in\mathbb{R}\)が存在し、\(0<\left|x-\alpha\right|<\delta\)かつ\(f\left(x\right)<\beta-\epsilon\)となる。
\(\alpha\in\mathbb{R},\beta=-\infty\)のとき
次の1条件を満たすとき、\(\liminf_{x\rightarrow\alpha}f\left(x\right)=\beta\)となる。1, 任意の\(M\in\mathbb{R}\)と\(\delta>0\)について、ある\(x\in\mathbb{R}\)が存在し、\(0<\left|x-\alpha\right|<\delta\)かつ\(f\left(x\right)<M\)となる。
\(\alpha\in\mathbb{R},\beta=+\infty\)のとき
次の1条件を満たすとき、\(\liminf_{x\rightarrow\alpha}f\left(x\right)=\beta\)となる。1, 任意の\(M\in\mathbb{R}\)について、ある\(\delta>0\)が存在し、\(0<\left|x-\alpha\right|<\delta\)ならば\(M<f\left(x\right)\)となる。
この条件は\(\lim_{x\rightarrow\alpha}f\left(x\right)=+\infty\)と同値である。
\(\alpha=\pm\infty,\beta\in\mathbb{R}\)のとき
次の2条件を満たすとき、\(\liminf_{x\rightarrow\alpha}f\left(x\right)=\beta\)となる。1, 任意の\(\epsilon>0\)について、ある\(R>0\)が存在し、\(R<\pm x\)ならば\(\beta-\epsilon<f\left(x\right)\)となる。
2, 任意の\(\epsilon>0\)と\(R>0\)について、ある\(x\in\mathbb{R}\)が存在し、\(R<\pm x\)かつ\(f\left(x\right)<\beta+\epsilon\)となる。
\(\alpha=\pm\infty,\beta=-\infty\)のとき
次の1条件を満たすとき、\(\liminf_{x\rightarrow\alpha}f\left(x\right)=\beta\)となる。1, 任意の\(M\in\mathbb{R}\)と\(R>0\)について、ある\(x\in\mathbb{R}\)が存在し、\(R<\pm x\)かつ\(f\left(x\right)<M\)となる。
\(\alpha=\pm\infty,\beta=-\infty\)のとき
次の1条件を満たすとき、\(\liminf_{x\rightarrow\alpha}f\left(x\right)=\beta\)となる。1, 任意の\(M\in\mathbb{R}\)について、ある\(R>0\)が存在し、\(R<\pm x\)ならば\(M<f\left(x\right)\)となる。
実数列
実数列\(\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\subseteq\mathbb{R}\)があるとする。
(5)実数列での上極限
実数列\(\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\subseteq\mathbb{R}\)の上極限\(\limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n}\)は\(\infty\)の除外近傍\(U_{\infty}\setminus\left\{ \infty\right\} =\left\{ N,N+1,\cdots\right\} \)をどんどん小さくしていったときの\(a_{n}\)の上限の極限で定義される。または、\(\infty\)の除外近傍\(U_{\infty}\setminus\left\{ \infty\right\} =\left\{ N,N+1,\cdots\right\} \)での\(a_{n}\)の上限の下限で定義される。
式では
\begin{align*} \limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n} & :=\lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{k\in\left\{ n,n+1,\cdots\right\} }a_{k}\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{k\geq n}a_{k} \end{align*} で表される。
\(\sup_{k\geq n}a_{k}\)は\(n\)について単調減少列なので
\begin{align*} \limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n} & =\inf_{n\in\mathbb{N}}\sup_{k\geq n}a_{k}\\ & =\inf\left\{ \sup\left\{ a_{k};k\geq n\right\} ;n\in\mathbb{N}\right\} \end{align*} と同じである。
(6)実数列での\(\epsilon\delta\)論法による上極限の定義
\(\limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\beta\)を\(\epsilon\delta\)論法で表すと次のようになる。\(\beta\in\mathbb{R}\)のとき
次の2条件を満たすとき、\(\limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\beta\)となる。1, 任意の\(\epsilon>0\)について、ある自然数\(N\in\mathbb{N}\)が存在し、\(N\leq n\)ならば\(a_{n}<\beta+\epsilon\)となる。
2, 任意の\(\epsilon>0\)と自然数\(N\in\mathbb{N}\)について、ある自然数\(n\in\mathbb{N}\)が存在し、\(N\leq n\)かつ\(\beta-\epsilon<a_{n}\)となる。
\(\beta=+\infty\)のとき
次の1条件を満たすとき、\(\limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\beta\)となる。1, 任意の\(M\in\mathbb{R}\)と自然数\(N\in\mathbb{N}\)について、ある自然数\(n\in\mathbb{N}\)が存在し、\(N\leq n\)かつ\(M<a_{n}\)となる。
\(\beta=-\infty\)のとき
次の1条件を満たすとき、\(\limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\beta\)となる。1, 任意の\(M\in\mathbb{R}\)について、ある自然数\(N\in\mathbb{N}\)が存在し、\(N\leq n\)ならば\(a_{n}<M\)となる。
(7)実数列での下極限
実数列\(\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\subseteq\mathbb{R}\)の下極限\(\liminf_{n\rightarrow\infty}a_{n}\)は\(\infty\)の除外近傍\(U_{\infty}\setminus\left\{ \infty\right\} =\left\{ N,N+1,\cdots\right\} \)をどんどん小さくしていったときの\(a_{n}\)の下限の極限で定義される。または、\(\infty\)の除外近傍\(U_{\infty}\setminus\left\{ \infty\right\} =\left\{ N,N+1,\cdots\right\} \)での\(a_{n}\)の下限の上限で定義される。
式では
\begin{align*} \liminf_{n\rightarrow\infty}a_{n} & :=\lim_{n\rightarrow\infty}\inf_{k\in\left\{ n,n+1,\cdots\right\} }a_{k}\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\inf_{k\geq n}a_{k} \end{align*} で表されます。
\(\inf_{k\geq n}a_{k}\)は\(n\)について単調増加列なので
\begin{align*} \liminf_{n\rightarrow\infty}a_{n} & =\sup_{n\in\mathbb{N}}\inf_{k\geq n}a_{k}\\ & =\sup\left\{ \inf\left\{ a_{k};k\geq n\right\} ;n\in\mathbb{N}\right\} \end{align*} と同じである。
(8)実数列での\(\epsilon\delta\)論法による下極限の定義
\(\liminf_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\beta\)を\(\epsilon\delta\)論法で表すと次のようになる。\(\beta\in\mathbb{R}\)のとき
次の2条件を満たすとき、\(\liminf_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\beta\)となる。1, 任意の\(\epsilon>0\)について、ある自然数\(N\in\mathbb{N}\)が存在し、\(N\leq n\)ならば\(\beta-\epsilon<a_{n}\)となる。
2, 任意の\(\epsilon>0\)と自然数\(N\in\mathbb{N}\)について、ある自然数\(n\in\mathbb{N}\)が存在し、\(N\leq n\)かつ\(a_{n}<\beta+\epsilon\)となる。
\(\beta=-\infty\)のとき
次の1条件を満たすとき、\(\liminf_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\beta\)となる。1, 任意の\(M\in\mathbb{R}\)と自然数\(N\in\mathbb{N}\)について、ある自然数\(n\in\mathbb{N}\)が存在し、\(N\leq n\)かつ\(a_{n}<M\)となる。
\(\beta=+\infty\)のとき
次の1条件を満たすとき、\(\liminf_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\beta\)となる。1, 任意の\(M\in\mathbb{R}\)について、ある自然数\(N\in\mathbb{N}\)が存在し、\(N\leq n\)ならば\(M<a_{n}\)となる。
\[
a_{n}=\left(-1\right)^{n}\left(1+\frac{1}{n}\right)
\]
とすると、
上極限は
\begin{align*} \limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n} & =\lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{k\geq n}\left(-1\right)^{k}\left(1+\frac{1}{k}\right)\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\sup\left\{ \left(-1\right)^{2k}\left(1+\frac{1}{2k}\right);k\in\mathbb{N},2k\geq n\right\} \cup\left\{ \left(-1\right)^{2k-1}\left(1+\frac{1}{2k-1}\right);k\in\mathbb{N},2k-1\geq n\right\} \\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\sup\left\{ \left(-1\right)^{2k}\left(1+\frac{1}{2k}\right);k\in\mathbb{N},k\geq\left\lceil \frac{n}{2}\right\rceil \right\} \cup\left\{ \left(-1\right)^{2k-1}\left(1+\frac{1}{2k-1}\right);k\in\mathbb{N},k\geq\left\lceil \frac{n+1}{2}\right\rceil \right\} \\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\sup\left\{ \left(-1\right)^{2k}\left(1+\frac{1}{2k}\right);k\in\mathbb{N},k\geq\left\lceil \frac{n}{2}\right\rceil \right\} \\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\left(-1\right)^{2\left\lceil \frac{n}{2}\right\rceil }\left(1+\frac{1}{2\left\lceil \frac{n}{2}\right\rceil }\right)\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{2\left\lceil \frac{n}{2}\right\rceil }\right)\\ & =1 \end{align*} 下極限は
\begin{align*} \liminf_{n\rightarrow\infty}a_{n} & =\lim_{n\rightarrow\infty}\inf_{k\geq n}\left(-1\right)^{k}\left(1+\frac{1}{k}\right)\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\inf_{k\geq n}\left\{ \left(-1\right)^{2k}\left(1+\frac{1}{2k}\right);k\in\mathbb{N},2k\geq n\right\} \cup\left\{ \left(-1\right)^{2k-1}\left(1+\frac{1}{2k-1}\right);k\in\mathbb{N},2k-1\geq n\right\} \\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\inf\left\{ \left(-1\right)^{2k}\left(1+\frac{1}{2k}\right);k\in\mathbb{N},k\geq\left\lceil \frac{n}{2}\right\rceil \right\} \cup\left\{ \left(-1\right)^{2k-1}\left(1+\frac{1}{2k-1}\right);k\in\mathbb{N},k\geq\left\lceil \frac{n+1}{2}\right\rceil \right\} \\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\inf\left\{ \left(-1\right)^{2k-1}\left(1+\frac{1}{2k-1}\right);k\in\mathbb{N},k\geq\left\lceil \frac{n+1}{2}\right\rceil \right\} \\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\left(-1\right)^{2\left\lceil \frac{n+1}{2}\right\rceil -1}\left(1+\frac{1}{2\left\lceil \frac{n+1}{2}\right\rceil -1}\right)\\ & =-\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{2\left\lceil \frac{n+1}{2}\right\rceil -1}\right)\\ & =-1 \end{align*} となる。
上極限は
\begin{align*} \limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n} & =\lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{k\geq n}\left(-1\right)^{k}\left(1+\frac{1}{k}\right)\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\sup\left\{ \left(-1\right)^{2k}\left(1+\frac{1}{2k}\right);k\in\mathbb{N},2k\geq n\right\} \cup\left\{ \left(-1\right)^{2k-1}\left(1+\frac{1}{2k-1}\right);k\in\mathbb{N},2k-1\geq n\right\} \\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\sup\left\{ \left(-1\right)^{2k}\left(1+\frac{1}{2k}\right);k\in\mathbb{N},k\geq\left\lceil \frac{n}{2}\right\rceil \right\} \cup\left\{ \left(-1\right)^{2k-1}\left(1+\frac{1}{2k-1}\right);k\in\mathbb{N},k\geq\left\lceil \frac{n+1}{2}\right\rceil \right\} \\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\sup\left\{ \left(-1\right)^{2k}\left(1+\frac{1}{2k}\right);k\in\mathbb{N},k\geq\left\lceil \frac{n}{2}\right\rceil \right\} \\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\left(-1\right)^{2\left\lceil \frac{n}{2}\right\rceil }\left(1+\frac{1}{2\left\lceil \frac{n}{2}\right\rceil }\right)\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{2\left\lceil \frac{n}{2}\right\rceil }\right)\\ & =1 \end{align*} 下極限は
\begin{align*} \liminf_{n\rightarrow\infty}a_{n} & =\lim_{n\rightarrow\infty}\inf_{k\geq n}\left(-1\right)^{k}\left(1+\frac{1}{k}\right)\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\inf_{k\geq n}\left\{ \left(-1\right)^{2k}\left(1+\frac{1}{2k}\right);k\in\mathbb{N},2k\geq n\right\} \cup\left\{ \left(-1\right)^{2k-1}\left(1+\frac{1}{2k-1}\right);k\in\mathbb{N},2k-1\geq n\right\} \\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\inf\left\{ \left(-1\right)^{2k}\left(1+\frac{1}{2k}\right);k\in\mathbb{N},k\geq\left\lceil \frac{n}{2}\right\rceil \right\} \cup\left\{ \left(-1\right)^{2k-1}\left(1+\frac{1}{2k-1}\right);k\in\mathbb{N},k\geq\left\lceil \frac{n+1}{2}\right\rceil \right\} \\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\inf\left\{ \left(-1\right)^{2k-1}\left(1+\frac{1}{2k-1}\right);k\in\mathbb{N},k\geq\left\lceil \frac{n+1}{2}\right\rceil \right\} \\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\left(-1\right)^{2\left\lceil \frac{n+1}{2}\right\rceil -1}\left(1+\frac{1}{2\left\lceil \frac{n+1}{2}\right\rceil -1}\right)\\ & =-\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{2\left\lceil \frac{n+1}{2}\right\rceil -1}\right)\\ & =-1 \end{align*} となる。
ページ情報
| タイトル | 実関数・実数列の上極限と下極限の定義 |
| URL | https://www.nomuramath.com/tfnapl0o/ |
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数列の極限での大小関係
\[
a_{n}<b_{n}\Rightarrow a\leq b
\]
合成関数の導関数・偏導関数
\[
\frac{df}{dt}=\sum_{k=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_{k}}\frac{dx_{k}}{dt}
\]
偏微分の順序交換(シュワルツの定理)
\[
\frac{\partial^{2}f\left(x,y\right)}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^{2}f\left(x,y\right)}{\partial y\partial x}
\]
C1級・全微分可能・偏微分可能・連続の関係
\[
C^{1}\text{級}\Rightarrow\text{全微分可能}\Rightarrow\text{偏微分可能}
\]