コーシー列と部分列の収束

\(\Rightarrow\)

\(\left(x_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)はコーシー列なので任意の\(\epsilon>0\)に対し、ある自然数\(N_{1}\in\mathbb{N}\)が存在し、\(N_{1}\leq m_{1},n_{1}\rightarrow d\left(x_{m_{1}},x_{n_{2}}\right)<\epsilon\)となる。
また部分列\(\left(x_{\sigma\left(n\right)}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)は\(a\)に収束するので任意の\(\epsilon>0\)に対し、ある自然数\(N_{2}\in\mathbb{N}\)が存在し、\(N_{2}\leq n_{2}\rightarrow d\left(x_{\sigma\left(n_{2}\right)},a\right)<\epsilon\)となる。
ここである\(m_{2}\geq N_{2}\)が存在して、\(N_{1}\leq\sigma\left(m_{2}\right)\)を満たし、\(d\left(x_{\sigma\left(m_{2}\right)},a\right)<\epsilon\)となる。
このとき、任意の自然数\(m\geq N_{1}\)に対し、\(d\left(x_{m},x_{\sigma\left(m_{2}\right)}\right)<\epsilon\)となる。
従って、\(d\left(x_{m},a\right)\leq d\left(x_{m},x_{\sigma\left(m_{2}\right)}\right)+d\left(x_{\sigma\left(m_{2}\right)},a\right)<\epsilon+\epsilon=2\epsilon\)となる。
故に\(\left(x_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)も\(a\)に収束する。

\(\Leftarrow\)

距離空間で点列が\(a\)に収束することと、その点列の任意の部分列が\(a\)に収束することは同値なので、コーシー列が\(a\)に収束するならばそのコーシー列のある部分列も\(a\)に収束する。
故に\(\Leftarrow\)が成り立つ。

\(\Leftrightarrow\)

故に\(\Rightarrow\)も\(\Leftarrow\)も成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。