チェビシェフ距離は距離空間
チェビシェフ距離は距離空間
\(\mathbb{R}^{n}\)に対し距離関数\(d:\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{n}\)\(\rightarrow\mathbb{R}\)を
\[ d_{\infty}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=\max\left(\left|x_{1}-y_{1}\right|,\cdots,\left|x_{n}-y_{n}\right|\right) \] で定めると、\(\left(\mathbb{R}^{n},d_{\infty}\right)\)は距離空間になる。
この距離をチェビシェフ距離といい、距離空間をチェビシェフ距離空間という。
\(\mathbb{R}^{n}\)に対し距離関数\(d:\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{n}\)\(\rightarrow\mathbb{R}\)を
\[ d_{\infty}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=\max\left(\left|x_{1}-y_{1}\right|,\cdots,\left|x_{n}-y_{n}\right|\right) \] で定めると、\(\left(\mathbb{R}^{n},d_{\infty}\right)\)は距離空間になる。
この距離をチェビシェフ距離といい、距離空間をチェビシェフ距離空間という。
非退化性
\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\)のとき、明らかに\(d_{\infty}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=0\)となるので\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\Rightarrow d_{\infty}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=0\)\(d_{\infty}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=0\)のとき、明らかに\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\)なので、\(d_{\infty}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=0\Rightarrow\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\)となる。
故に\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\Leftrightarrow d_{\infty}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=0\)となり非退化性は満たされる。
対称性
\begin{align*} d_{\infty}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) & =\max\left(\left|x_{1}-y_{1}\right|,\cdots,\left|x_{n}-y_{n}\right|\right)\\ & =\max\left(\left|y_{1}-x_{1}\right|,\cdots,\left|y_{n}-x_{n}\right|\right)\\ & =d_{\infty}\left(\boldsymbol{y},\boldsymbol{x}\right) \end{align*} となるので、対称性は満たされる。3角不等式
1次元ユークリッド空間の3角不等式\(\left|a+b\right|\leq\left|a\right|+\left|b\right|\)を使うと、\begin{align*} d_{\infty}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{z}\right) & =\max\left(\left|x_{1}-z_{1}\right|,\cdots,\left|x_{n}-z_{n}\right|\right)\\ & \leq\max\left(\left|x_{1}-y_{1}\right|+\left|y_{1}-z_{1}\right|,\cdots,\left|x_{n}-y_{n}\right|+\left|y_{n}-z_{n}\right|\right)\\ & \leq\max\left(\left|x_{1}-y_{1}\right|,\cdots,\left|x_{n}-y_{n}\right|\right)+\max\left(\left|y_{1}-z_{1}\right|,\cdots,\left|y_{n}-z_{n}\right|\right)\\ & =d_{\infty}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)+d_{\infty}\left(\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\right) \end{align*} となるので3角不等式が成り立つ。
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これより、チェビシェフ距離は非退化性・対称性・3角不等式を満たすので距離空間になる。
ページ情報
| タイトル | チェビシェフ距離は距離空間 |
| URL | https://www.nomuramath.com/x4cw87zp/ |
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距離空間での収束の定義と開集合による別定義
\[
\exists a\in X,\forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},N<n\rightarrow d\left(a_{n},a\right)<\epsilon
\]
距離空間でのε-近傍・開集合・閉集合・開集合全体の集合・開集合族の定義
\[
U_{\epsilon}\left(a\right)=\left\{ x\in X;d\left(x,a\right)<\epsilon\right\}
\]
距離空間ならば第1可算公理を満たす
濃度2以上の密着位相は距離化不可能
$2\leq\left|X\right|$となる密着位相$\left(X,\left\{ \emptyset,X\right\} \right)$は距離化不可能である。