距離空間でε-近傍は開集合

\(\epsilon\)-近傍は\(U_{\epsilon}\left(a\right)=\left\{ x\in X;d\left(x,a\right)<\epsilon\right\} \)なので\(\forall U_{\epsilon}\left(a\right)\subseteq X,\forall a_{0}\in U_{\epsilon}\left(a\right),\exists\epsilon_{0}>0,U_{\epsilon_{0}}\left(a_{0}\right)\subseteq U_{\epsilon}\left(a\right)\)が成り立つ\(\epsilon_{0}\)があればいい。
これより、\(\epsilon>d\left(a,a_{0}\right)+\epsilon_{0}\)が成り立てばいいので、\(\epsilon_{0}<\epsilon-d\left(a,a_{0}\right)\)より、\(\epsilon_{0}=\frac{\epsilon-d\left(a,a_{0}\right)}{2}\)とする。
そうすると、任意の\(x_{0}\in U_{\epsilon_{0}}\left(a_{0}\right)\)に対し、\(d\left(x_{0},a\right)\leq d\left(x_{0},a_{0}\right)+d\left(a_{0},a\right)\leq\epsilon_{0}+d\left(a_{0},a\right)=\frac{\epsilon-d\left(a,a_{0}\right)}{2}+d\left(a_{0},a\right)=\frac{\epsilon}{2}+\frac{d\left(a,a_{0}\right)}{2}\leq\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon\)となるので\(x_{0}\)は\(U_{\epsilon}\left(a\right)\)に含まれる。
これより、\(U_{\epsilon_{0}}\left(a_{0}\right)\subseteq U_{\epsilon}\left(a\right)\)が成り立つので、題意は成り立つ。