順序組の定義

(1)写像による定義

集合\(X\)と自然数\(n\in\mathbb{N}\)があり、写像を\(f:\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} \rightarrow X,i\mapsto f\left(i\right)=a_{i}\)として、集合\(X\)の要素からなる組\(\left(a_{k}\right)_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }=\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right)\subseteq X\)を写像\(f\)そのものとして
\[ f=\left(a_{k}\right)_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} } \] と定める。
また、写像\(f\)は始域\(\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} \)と終域\(X\)の順序対を全て集めた集合\(\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} \times X\)の部分集合でもあるので、
\begin{align*} f & =\left\{ \left(i,a_{i}\right);i\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} \right\} \\ & \subseteq\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} \times X \end{align*} でも表されます。
これより、
\begin{align*} \left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right) & =\left(a_{k}\right)_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\\ & =f\\ & =\left\{ \left(i,a_{i}\right);i\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} \right\} \end{align*} となります。
この\(\left(a_{k}\right)_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\)を順序組やタプルといい、\(n\)個の順序組は\(n\)項組ともいいます。

(2)写像による定義の一般化

集合\(X\)と添え字集合\(I\)があり、写像を\(f:I\rightarrow X,i\mapsto f\left(I\right)\)として、集合\(X\)の要素からなる組\(\left(a_{i}\right)_{i\in I}\subseteq X\)を写像\(f\)そのものとして
\[ f=\left(a_{i}\right)_{i\in I} \] と定める。
また、写像\(f\)は始域\(I\)と終域\(X\)の順序対を全て集めた集合\(I\times X\)の部分集合でもあるので、
\begin{align*} f & =\left\{ \left(i,a_{i}\right);i\in I\right\} \\ & \subseteq I\times X \end{align*} でも表されます。
これより、
\begin{align*} \left(a_{k}\right)_{k\in I} & =f\\ & =\left\{ \left(i,a_{i}\right);i\in I\right\} \end{align*} となります。
\(I\)は任意の添え字集合ですが特別な場合は次のようになります。
\[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline I & f & \text{順序組の名称}\\ \hline \emptyset & f:\emptyset\rightarrow X & \text{空順序組}\\ \hline \left\{ 1,2,\cdots,n\right\} & f:\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} \rightarrow X & n\text{項組}\\ \hline \mathbb{N} & f:\mathbb{N}\rightarrow X & \text{列(点列、数列)}\\ \hline \mathbb{R} & f:\mathbb{R}\rightarrow X & \text{族} \\\hline \end{array} \]

(3)順序対による再帰的定義

順序対\(\left(a,b\right)\)を用いて、
\[ \left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right):=\left(\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n-1}\right),a_{n}\right) \] により、順序組\(\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right)\)を定めます。
また、
\[ \left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right):=\left(a_{1},\left(a_{2},\cdots,a_{n-1},a_{n}\right)\right) \] としても同じです。

(1)

順序組は「じゅんじょぐみ」と読みますが「じゅんじょくみ」でも意味は通じます。

(2)

集合と順序組は異なります。
例えば\(\left(a_{i}\right)_{i\in\left\{ 1,2\right\} }=\left\{ \left(1,a_{1}\right),\left(2,a_{2}\right)\right\} \)ですが、\(\left\{ a_{i}\right\} _{i\in\left\{ 1,2\right\} }=\left\{ a_{1},a_{2}\right\} \)であるので、\(\left(a_{i}\right)_{i\in\left\{ 1,2\right\} }\ne\left\{ a_{i}\right\} _{i\in\left\{ 1,2\right\} }\)となります。
また、\(a_{1}=a_{2}\)の場合は\(\left(a_{i}\right)_{i\in\left\{ 1,2\right\} }=\left\{ \left(1,a_{1}\right),\left(2,a_{1}\right)\right\} \)ですが、\(\left\{ a_{i}\right\} _{i\in\left\{ 1,2\right\} }=\left\{ a_{1},a_{1}\right\} =\left\{ a_{1}\right\} \)となります。

(3)カンマで区切る表記法

順序組を\(\left(\right)\)や\(\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right)\)や\(\left(a_{1},a_{2},\cdots\right)\)のようにカンマで区切って表すことができるのは添え字集合を1列に順番に並べることができる場合に限られます。
例えば添え字集合が\(\emptyset\)や\(\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} \)や\(\mathbb{N}\)の場合は順序組をカンマで区切って表すことができますが、\(\mathbb{R}\)などでは1列に順番に並べることができないので順序組\(\left(a_{k}\right)_{k\in\mathbb{R}}\)をカンマで区切って表すことはできません。
また、順序組みが\(\left\{ x,y,z\right\} \)の場合には予めアルファベット順にするなどの記載をすることにより、
\(\left(a_{x},a_{y},a_{z}\right)\)のようにカンマで区切って表すことができます。
また、添え字集合が整数全体\(\mathbb{Z}=\left\{ \cdots,-1,0,1,\cdots\right\} \)の場合は両側無限列といい、中心0を基準に\(\left(\cdots,c_{-1},c_{0},c_{1},\cdots\right)\)とカンマで区切って表すことができます。
これは複素フーリエ級数などで使われます。
添え字集合が有理数全体\(\mathbb{Q}\)の場合は、1列に順番に並べることができるので順序組\(\left(a_{k}\right)_{k\in\mathbb{Q}}\)をカンマで区切って表すことは可能ですが、この順番は意味のない順番なので普通はカンマで区切って表すことはしません。

(4)

通常は順序組\(\left(a,b,c\right)\)の添え字集合は\(\left\{ 1,2,3\right\} \)として\(\left(a,b,c\right)=\left\{ \left(1,a\right),\left(2,b\right),\left(3,c\right)\right\} \)とします。
添え字集合を\(\left\{ 0,1,2\right\} \)とすることもあります。

(5)

\(a\in\left(a,b,c\right)\)という表記は厳密には\(\left(a,b,c\right)=\left\{ \left(1,a\right),\left(2,b\right),\left(3,c\right)\right\} \)より\(a\notin\left(a,b,c\right)\)なので間違いとなり、正確な表現では\(a\in\left\{ a,b,c\right\} =\im\left\{ \left(1,a\right),\left(2,b\right),\left(3,c\right)\right\} =\im\left(a,b,c\right)\)となります。
しかし、この表記は実際には使わることはほぼなくて、普通は記号の乱用で\(a\in\left(a,b,c\right)\)としたり、集合として\(a\in\left\{ a,b,c\right\} \)や言葉で「\(a\)を順序組\(\left(a,b,c\right)\)のいずれかの成分とする」のように表します。
また、\(\left(a,b,c\right)=\left\{ \left(1,a\right),\left(2,b\right),\left(3,c\right)\right\} \)より\(\left(1,a\right)\in\left(a,b,c\right)\)という表記は正しい表記ですが、実際にはほぼ使われません。
この場合は射影作用素\(p_{k}\left(a_{i}\right)_{i\in\mathbb{N}}=a_{k}\)を使って\(p_{1}\left(a,b,c\right)=a\)などで表されることが多いです。
これは順序組\(\left(a,b,c\right)\)は\(a,b,c\)を並べた組みであって、\(\left(a,b,c\right)=\left\{ \left(1,a\right),\left(2,b\right),\left(3,c\right)\right\} \)であることはブラックボックス化して扱われるからです。

(1)

\[ \left(a_{k}\right)_{k\in\left\{ 1,2,3\right\} }=\left(a_{1},a_{2},a_{3}\right) \]

(2)

\[ \left(k\right)_{k\in\left\{ 1,2,3\right\} }=\left(1,2,3\right) \]

(3)

\[ \left(\frac{1}{k}\right)_{k\in\mathbb{N}}=\left(1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots\right) \]