集合列と非交和
集合列について次が成り立つ。
\[ \bigcup_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }A_{k}=\bigsqcup_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\left(A_{k}\setminus\bigcup_{j=1}^{k-1}A_{j}\right) \] を満たす。
\[ A_{n}=\bigsqcup_{k=1}^{n}\left(A_{k}\setminus A_{k-1}\right) \] を満たす。
\[ A_{n}=A_{1}\setminus\bigsqcup_{k=1}^{n-1}\left(A_{k}\setminus A_{k+1}\right) \] を満たす。
また、\(n\leq m\)として、
\[ A_{n}=A_{m+1}\sqcup\bigsqcup_{k=n}^{m}\left(A_{k}\setminus A_{k+1}\right) \] を満たす。
集合列について次が成り立つ。
(1)
全体集合を\(X\)として、集合列\(\left(A_{k}\right)_{k\in\mathbb{N}}\subseteq X\)があるとき、集合列\(\left(A_{k}\setminus\bigcup_{j=1}^{k-1}A_{j}\right)_{k\in\mathbb{N}}\subseteq X\)は互いに素となり、\[ \bigcup_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }A_{k}=\bigsqcup_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\left(A_{k}\setminus\bigcup_{j=1}^{k-1}A_{j}\right) \] を満たす。
(2)単調増加集合列
全体集合を\(X\)として、単調増加な集合列\(\left(A_{k}\right)_{k\in\mathbb{N}}\subseteq X\)があるとき、集合列\(\left(A_{k}\setminus A_{k-1}\right)_{k\in\mathbb{N}}\subseteq X\)は互いに素となり、\(A_{0}=\emptyset\)とすると\[ A_{n}=\bigsqcup_{k=1}^{n}\left(A_{k}\setminus A_{k-1}\right) \] を満たす。
(3)単調減少集合列
全体集合を\(X\)として、単調減少な集合列\(\left(A_{k}\right)_{k\in\mathbb{N}}\subseteq X\)があるとき、集合列\(\left(A_{k}\setminus A_{k+1}\right)_{k\in\mathbb{N}}\subseteq X\)は互いに素となり、\[ A_{n}=A_{1}\setminus\bigsqcup_{k=1}^{n-1}\left(A_{k}\setminus A_{k+1}\right) \] を満たす。
また、\(n\leq m\)として、
\[ A_{n}=A_{m+1}\sqcup\bigsqcup_{k=n}^{m}\left(A_{k}\setminus A_{k+1}\right) \] を満たす。
(1)
互いに素
\(m\ne n\)とする。\(m\ne n\)なので\(m<n\)または\(n<m\)であるので\(m<n\)とする。
このとき、
\begin{align*} \left(A_{m}\setminus\bigcup_{j=1}^{m-1}A_{j}\right)\cap\left(A_{n}\setminus\bigcup_{j=1}^{n-1}A_{j}\right) & =\left(A_{m}\cap\left(\bigcup_{j=1}^{m-1}A_{j}\right)^{c}\right)\cap\left(A_{n}\cap\left(\bigcup_{j=1}^{n-1}A_{j}\right)^{c}\right)\\ & =A_{m}\cap\bigcap_{j=1}^{m-1}A_{j}^{c}\cap A_{n}\cap\bigcap_{j=1}^{n-1}A_{j}^{c}\\ & =A_{m}\cap\bigcap_{j=1}^{m-1}A_{j}^{c}\cap A_{n}\cap\left(\bigcap_{j=1}^{m-1}A_{j}^{c}\right)\cap A_{m}^{c}\cap\left(\bigcap_{j=m+1}^{n-1}A_{j}^{c}\right)\\ & =\left(A_{m}\cap A_{m}^{c}\right)\cap\bigcap_{j=1}^{m-1}A_{j}^{c}\cap A_{n}\cap\left(\bigcap_{j=1}^{m-1}A_{j}^{c}\right)\cap\left(\bigcap_{j=m+1}^{n-1}A_{j}^{c}\right)\\ & =\emptyset\cap\bigcap_{j=1}^{m-1}A_{j}^{c}\cap A_{n}\cap\left(\bigcap_{j=1}^{m-1}A_{j}^{c}\right)\cap\left(\bigcap_{j=m+1}^{n-1}A_{j}^{c}\right)\\ & =\emptyset \end{align*} となるので、互いに素となる。
同様に\(n<m\)のときも互いに素となる。
従って、\(\left(A_{k}\setminus\bigcup_{j=1}^{k-1}A_{j}\right)_{k\in\mathbb{N}}\)は互いに素となる。
和集合
\(n=1\)のとき、左辺\[ \bigcup_{k\in\left\{ 1\right\} }A_{k}=A_{1} \] となり右辺は
\begin{align*} \bigsqcup_{k\in\left\{ 1\right\} }\left(A_{k}\setminus\bigcup_{j=1}^{k-1}A_{j}\right) & =A_{1}\setminus\bigcup_{j=1}^{0}A_{j}\\ & =A_{1}\setminus\emptyset\\ & =A_{1} \end{align*} となるので、\(n=1\)のときは成り立つ。
\(n=m-1\)のとき成り立つと仮定する。
そうすると、\(n=m\)のときは、
\begin{align*} \bigsqcup_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,m\right\} }\left(A_{k}\setminus\bigcup_{j=1}^{k-1}A_{j}\right) & =\bigcup_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,m\right\} }\left(A_{k}\setminus\bigcup_{j=1}^{k-1}A_{j}\right)\\ & =\left(A_{m}\setminus\bigcup_{j=1}^{m-1}A_{j}\right)\cup\bigcup_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,m-1\right\} }\left(A_{k}\setminus\bigcup_{j=1}^{k-1}A_{j}\right)\\ & =\left(A_{m}\cap\left(\bigcup_{j=1}^{m-1}A_{j}\right)^{c}\right)\cup\bigcup_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,m-1\right\} }A_{k}\\ & =\left(A_{m}\cup\bigcup_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,m-1\right\} }A_{k}\right)\cap\left(\left(\bigcup_{j=1}^{m-1}A_{j}\right)^{c}\cup\bigcup_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,m-1\right\} }A_{k}\right)\\ & =\left(\bigcup_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,m\right\} }A_{k}\right)\cap X\\ & =\bigcup_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,m\right\} }A_{k} \end{align*} となるので、\(n=m\)でも成り立つ。
従って、数学的帰納法より与式は成り立つ。
-
これらより、題意は成り立つ。(2)
互いに素
\(i\ne j\)とする。\(i\ne j\)なので\(i<j\)または\(j<i\)であるので\(i<j\)とする。
このとき、
\begin{align*} \left(A_{i}\setminus A_{i-1}\right)\cap\left(A_{j}\setminus A_{j-1}\right) & =\left(A_{i}\cap A_{i-1}^{c}\right)\cap\left(A_{j}\cap A_{j-1}^{c}\right)\\ & =A_{i}\cap A_{j}\cap A_{i-1}^{c}\cap A_{j-1}^{c}\\ & =\left(A_{i}\cap A_{j}\right)\cap\left(A_{i-1}\cup A_{j-1}\right)^{c}\\ & =A_{i}\cap\left(A_{j-1}\right)^{c}\\ & \subseteq A_{j-1}\cap\left(A_{j-1}\right)^{c}\cmt{\because i<j\text{より}i\leq j-1}\\ & =\emptyset \end{align*} となるので、
\[ \left(A_{i}\setminus A_{i-1}\right)\cap\left(A_{j}\setminus A_{j-1}\right)=\emptyset \] となり、互いに素となる。
同様に\(j<i\)のときも互いに素となる。
従って、\(\left(A_{k}\setminus A_{k-1}\right)_{k\in\mathbb{N}}\)は互いに素となる。
和集合
\(n=1\)のときは\begin{align*} \bigsqcup_{k=1}^{1}\left(A_{k}\setminus A_{k-1}\right) & =A_{1}\setminus A_{0}\\ & =A_{1}\setminus\emptyset\\ & =A_{1} \end{align*} となるので成り立つ。
\(n=m-1\)のとき成り立つと仮定すると
\begin{align*} \bigsqcup_{k=1}^{m}\left(A_{k}\setminus A_{k-1}\right) & =\left(A_{m}\setminus A_{m-1}\right)\cup\bigcup_{k=1}^{m-1}\left(A_{k}\setminus A_{k-1}\right)\\ & =\left(A_{m}\cap A_{m-1}^{c}\right)\cup A_{m-1}\\ & =A_{m}\cup A_{m-1}\\ & =A_{m} \end{align*} となるので、\(n=m\)でも成り立つ。
従って、数学的帰納法より与式は成り立つ。
-
これらより、題意は成り立つ。(3)
互いに素
\(i\ne j\)とする。\(i\ne j\)なので\(i<j\)または\(j<i\)であるので\(i<j\)とする。
このとき、
\begin{align*} \left(A_{i}\setminus A_{i+1}\right)\cap\left(A_{j}\setminus A_{j+1}\right) & =A_{i}\cap A_{i+1}^{c}\cap A_{j}\cap A_{j+1}^{c}\\ & =A_{i}\cap A_{j}\cap\left(A_{i+1}\cup A_{j+1}\right)^{c}\\ & =A_{j}\cap\left(A_{i+1}\right)^{c}\\ & =A_{j}\setminus A_{i+1}\\ & =\emptyset \end{align*} となるので、互いに素となる。
同様に\(j<i\)のときも互いに素となる。
従って、\(\left(A_{k}\setminus A_{k+1}\right)_{k\in\mathbb{N}}\)は互いに素となる。
和集合
\[ A_{n}=A_{1}\setminus\bigsqcup_{k=1}^{n-1}\left(A_{k}\setminus A_{k+1}\right) \] を示す。\(n=1\)のときは
\begin{align*} A_{1}\setminus\bigsqcup_{k=1}^{0}\left(A_{k}\setminus A_{k+1}\right) & =A_{1}\setminus\emptyset\\ & =A_{1} \end{align*} となるので成り立つ。
\(n=m-1\)のとき成り立つと仮定すると
\begin{align*} A_{1}\setminus\bigsqcup_{k=1}^{m-1}\left(A_{k}\setminus A_{k+1}\right) & =A_{1}\setminus\bigcup_{k=1}^{m-1}\left(A_{k}\setminus A_{k+1}\right)\\ & =A_{1}\setminus\left(\left(A_{m-1}\setminus A_{m}\right)\cup\bigcup_{k=1}^{\left(m-1\right)-1}\left(A_{k}\setminus A_{k+1}\right)\right)\\ & =A_{1}\cap\left(\left(A_{m-1}\setminus A_{m}\right)\cup\bigcup_{k=1}^{\left(m-1\right)-1}\left(A_{k}\setminus A_{k+1}\right)\right)^{c}\\ & =A_{1}\cap\left(A_{m-1}\setminus A_{m}\right)^{c}\cap\left(\bigcup_{k=1}^{\left(m-1\right)-1}\left(A_{k}\setminus A_{k+1}\right)\right)^{c}\\ & =A_{1}\cap\left(\bigcup_{k=1}^{\left(m-1\right)-1}\left(A_{k}\setminus A_{k+1}\right)\right)^{c}\cap\left(A_{m-1}\cap A_{m}^{c}\right)^{c}\\ & =A_{1}\setminus\bigcup_{k=1}^{\left(m-1\right)-1}\left(A_{k}\setminus A_{k+1}\right)\cap\left(A_{m-1}^{c}\cup A_{m}\right)\\ & =A_{m-1}\cap\left(A_{m-1}^{c}\cup A_{m}\right)\\ & =A_{m-1}\cap A_{m}\\ & =A_{m} \end{align*} となるので、\(n=m\)でも成り立つ。
従って、数学的帰納法より与式は成り立つ。
-
\(n\leq m\)として、\[ A_{n}=A_{m+1}\sqcup\bigsqcup_{k=n}^{m}\left(A_{k}\setminus A_{k+1}\right) \] が成り立つことを示す。
\(i\in\mathbb{N}\)として\(m=i,n=i\)のときは
\begin{align*} A_{i+1}\sqcup\bigsqcup_{k=i}^{i}\left(A_{k}\setminus A_{k+1}\right) & =A_{i+1}\cup\bigcup_{k=i}^{i}\left(A_{k}\setminus A_{k+1}\right)\\ & =A_{i+1}\cup\left(A_{i}\setminus A_{i+1}\right)\\ & =A_{i+1}\cup A_{i}\\ & =A_{i} \end{align*} となるので成り立つ。
\(i\in\mathbb{N},j\in\mathbb{N}\)として\(m=i+j-1,n=i\)のとき成り立つと仮定すると、
\begin{align*} A_{i+j+1}\sqcup\bigsqcup_{k=i}^{i+j}\left(A_{k}\setminus A_{k+1}\right) & =A_{i+j+1}\cup\bigcup_{k=i}^{i+j}\left(A_{k}\setminus A_{k+1}\right)\\ & =A_{i+j+1}\cup\left(A_{i+j}\setminus A_{i+j+1}\right)\cup\bigcup_{k=i}^{i+j-1}\left(A_{k}\setminus A_{k+1}\right)\\ & =A_{i+j+1}\cup A_{i+j}\cup\bigcup_{k=i}^{i+j-1}\left(A_{k}\setminus A_{k+1}\right)\\ & =A_{i+j}\cup\bigcup_{k=i}^{i+j-1}\left(A_{k}\setminus A_{k+1}\right)\\ & =A_{i} \end{align*} となるので、\(m=i+j,n=i\)のときも成り立つ。
従って、数学的帰納法より
\[ A_{n}=A_{m+1}\sqcup\bigsqcup_{k=n}^{m}\left(A_{k}\setminus A_{k+1}\right) \] が成り立つ。
-
これらより、題意は成り立つ。
ページ情報
| タイトル | 集合列と非交和 |
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集合列と和集合・積集合
\[
\bigcap_{1\leq j<k\leq n}\left(A_{j}\cup A_{k}\right)=\bigcup_{1\leq j\leq n}\bigcap_{1\leq k\leq n,k\ne j}A_{k}
\]
単調増加列・単調減少列同士の積集合と和集合
\[
A_{k}\nearrow_{k\in\mathbb{N}},B_{k}\nearrow_{k\in\mathbb{N}}\Rightarrow\bigcup_{k=1}^{\infty}\left(A_{k}\cap B_{k}\right)=\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}\cap\bigcup_{k=1}^{\infty}B_{k}
\]
集合列の和集合と積集合の包含関係
\[
\forall m,n\in\mathbb{N},\bigcap_{k=m}^{\infty}A_{k}\subseteq\bigcup_{k=n}^{\infty}A_{k}
\]
2つの集合族同士の演算
\[
\left(\prod_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\cap\left(\prod_{\mu\in\Lambda}B_{\mu}\right)=\prod_{\lambda\in\Lambda}\left(A_{\lambda}\cap B_{\lambda}\right)
\]