数列の極限での大小関係
数列\(\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}},\left(b_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)\(\subseteq\mathbb{R}\)の極限が存在し、\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a,\lim_{n\rightarrow\infty}b_{n}=b\)とする。
任意の\(n\in\mathbb{N}\)に対し、\(a_{n}<b_{n}\)ならば\(a\leq b\)となる。
数列\(\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}},\left(b_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)\(\subseteq\mathbb{R}\)の極限が存在し、\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a,\lim_{n\rightarrow\infty}b_{n}=b\)とする。
任意の\(n\in\mathbb{N}\)に対し、\(a_{n}<b_{n}\)ならば\(a\leq b\)となる。
(1)
\(a_{n}<b_{n}\)ならば\(a\leq b\)が成り立ち、\(a_{n}=b_{n}\)ならば\(a=b\)も成り立つので、\(a_{n}\leq b_{n}\)ならば\(a\leq b\)も成り立つ。(2)
\(a_{n}<b_{n}\)ならば\(a<b\)は一般的に成り立たない。反例は\(a_{n}=-\frac{1}{n},b_{n}=\frac{1}{n}\)とすると、\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=0,\lim_{n\rightarrow\infty}b_{n}=0\)であるので、\(0<0\)となり矛盾。
(3)
等号なし不等式\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}<\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}+1\)は全ての場合で成り立たず、\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}\leq\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}+1\)と等号付きの不等式になります。何故なら、\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}<\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}+1\)としてしまうと、\(a_{n}=n\)のとき、\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\infty\)であるので、\(\infty=\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}<\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}+1=\infty\)となり、\(\infty<\infty\)となり矛盾が生じるからです。
等号付きの不等式にしておくと、\(\infty=\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}\leq\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}+1=\infty\)となり、\(\infty\leq\infty\)となり正しい大小関係になります。
背理法で示す。
\(b<a\)と仮定する。
このとき、\(a-b>0\)なので、\(\epsilon=\frac{a-b}{2}\)とおくと、
任意の\(\epsilon_{a}>0\)に対し、ある\(N_{a}\in\mathbb{N}\)が存在し、\(N_{a}\leq n_{a}\Rightarrow\left|a_{n_{a}}-a\right|<\epsilon_{a}\)が成り立つ。
同様に、任意の\(\epsilon_{b}>0\)に対し、ある\(N_{b}\in\mathbb{N}\)が存在し、\(N_{b}\leq n_{b}\Rightarrow\left|b_{n_{b}}-b\right|<\epsilon_{a}\)が成り立つ。
このとき、\(a-b>0\)なので、\(\epsilon=\epsilon_{a}=\epsilon_{b}=\frac{a-b}{2}\)とおくと、
\[ \left|a_{n_{a}}-a\right|<\epsilon_{a}=\frac{a-b}{2} \] より、
\[ a-\frac{a-b}{2}<a_{n_{a}}<a+\frac{a-b}{2} \] となるので、
\[ \frac{a+b}{2}<a_{n_{a}} \] となる。
同様に、
\[ \left|b_{n_{a}}-b\right|<\epsilon_{b}=\frac{a-b}{2} \] より、
\[ b_{n_{b}}<\frac{a+b}{2} \] となる。
これより、\(N_{a}\leq n_{a}\)かつ\(N_{b}\leq n_{b}\)であるとき、
\[ b_{n_{b}}<\frac{a+b}{2}<a_{n_{a}} \] が成り立つ。
ここで
\[ n=\max\left\{ N_{a},N_{b}\right\} \] とおくと、
\[ b_{n}<\frac{a+b}{2}<a_{n} \] となるが、\(a_{n}<b_{n}\)なので矛盾。
従って、\(b<a\)の仮定が間違いで\(b\leq a\)となる。
従って題意は成り立つ。
\(b<a\)と仮定する。
このとき、\(a-b>0\)なので、\(\epsilon=\frac{a-b}{2}\)とおくと、
任意の\(\epsilon_{a}>0\)に対し、ある\(N_{a}\in\mathbb{N}\)が存在し、\(N_{a}\leq n_{a}\Rightarrow\left|a_{n_{a}}-a\right|<\epsilon_{a}\)が成り立つ。
同様に、任意の\(\epsilon_{b}>0\)に対し、ある\(N_{b}\in\mathbb{N}\)が存在し、\(N_{b}\leq n_{b}\Rightarrow\left|b_{n_{b}}-b\right|<\epsilon_{a}\)が成り立つ。
このとき、\(a-b>0\)なので、\(\epsilon=\epsilon_{a}=\epsilon_{b}=\frac{a-b}{2}\)とおくと、
\[ \left|a_{n_{a}}-a\right|<\epsilon_{a}=\frac{a-b}{2} \] より、
\[ a-\frac{a-b}{2}<a_{n_{a}}<a+\frac{a-b}{2} \] となるので、
\[ \frac{a+b}{2}<a_{n_{a}} \] となる。
同様に、
\[ \left|b_{n_{a}}-b\right|<\epsilon_{b}=\frac{a-b}{2} \] より、
\[ b_{n_{b}}<\frac{a+b}{2} \] となる。
これより、\(N_{a}\leq n_{a}\)かつ\(N_{b}\leq n_{b}\)であるとき、
\[ b_{n_{b}}<\frac{a+b}{2}<a_{n_{a}} \] が成り立つ。
ここで
\[ n=\max\left\{ N_{a},N_{b}\right\} \] とおくと、
\[ b_{n}<\frac{a+b}{2}<a_{n} \] となるが、\(a_{n}<b_{n}\)なので矛盾。
従って、\(b<a\)の仮定が間違いで\(b\leq a\)となる。
従って題意は成り立つ。
ページ情報
| タイトル | 数列の極限での大小関係 |
| URL | https://www.nomuramath.com/lbh4msmo/ |
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