単射、全射、全単射の定義
単射、全射、全単射を次で定義する。

(1)単射

写像\(f:X\rightarrow Y\)が\(\left(\forall a,b\in X\right),a\ne b\Rightarrow f\left(a\right)\ne f\left(b\right)\)となるとき、\(f\)を単射という。
この条件は対偶をとると、\(\left(\forall a,b\in X\right),f\left(a\right)=f\left(b\right)\Rightarrow a=b\)となる。
これは異なる元は異なる元に移すということである。
有限集合なら単射は\(\left|X\right|=\left|f\left(X\right)\right|\)と同じである。
単射を\(f:X\rightarrowtail Y\)で表すこともある。

(2)全射

写像\(f:X\rightarrow Y\)が\(\forall b\in Y,\exists a\in X,f\left(a\right)=b\)を満たすとき、\(f\)を全射という。
これは値域\(f\left(X\right)\)が終域\(Y\)を含むということで、像の定義より\(Y\)も\(f\left(X\right)\)を含むので\(Y=f\left(X\right)\)となることと同じである。
全射を\(f:X\twoheadrightarrow Y\)で表すこともある。

(3)全単射

写像\(f:X\rightarrow Y\)が単射かつ全射であるとき、\(f\)を全単射という。
これは、\(\forall b\in Y,\exists!a\in X,b=f\left(a\right)\)となる。
全単射を\(f:X\text{⤖}Y\)で表すこともある。