逆対応の定義と性質
逆対応の定義
対応\(f:X\rightarrow Y\)があるとき、ある\(Y\)の要素\(y\)に対し\(y\in f\left(x\right)\)を満たす\(X\)の元\(x\)全体を\(f^{\bullet}\left(y\right)\)で表すと、対応\(f^{\bullet}:Y\rightarrow X\)が定まる。
この\(f^{\bullet}\)を\(f\)の逆対応といい
\[ f^{\bullet}\left(y\right):=\left\{ x\in X;y\in f\left(x\right)\subseteq Y\right\} \] となる。
\(f^{\bullet}\left(y\right)\)を\(y\)の逆対応といい、これは\(X\)の部分集合である。
対応\(f:X\rightarrow Y\)のグラフを\(G\left(f\right)\)とすると、逆対応のグラフ\(G\left(f^{\bullet}\right)\)は
\[ G\left(f^{\bullet}\right)=\left\{ \left(y,x\right)\in Y\times X;\left(x,y\right)\in G\left(f\right)\right\} \] となる。
逆対応の性質
対応\(f:X\rightarrow Y\)のグラフを\(G\left(f\right)\)として逆対応\(f^{\bullet}:Y\rightarrow X\)のグラフを\(G\left(f^{\bullet}\right)\)とする。
\[ y\in f\left(x\right)\Leftrightarrow x\in f^{\bullet}\left(y\right) \] となる。
\[ G\left(f^{\bullet}\right)=\left\{ \left(y,x\right);\left(x,y\right)\in G\left(f\right)\right\} \]
逆対応の定義
対応\(f:X\rightarrow Y\)があるとき、ある\(Y\)の要素\(y\)に対し\(y\in f\left(x\right)\)を満たす\(X\)の元\(x\)全体を\(f^{\bullet}\left(y\right)\)で表すと、対応\(f^{\bullet}:Y\rightarrow X\)が定まる。
この\(f^{\bullet}\)を\(f\)の逆対応といい
\[ f^{\bullet}\left(y\right):=\left\{ x\in X;y\in f\left(x\right)\subseteq Y\right\} \] となる。
\(f^{\bullet}\left(y\right)\)を\(y\)の逆対応といい、これは\(X\)の部分集合である。
対応\(f:X\rightarrow Y\)のグラフを\(G\left(f\right)\)とすると、逆対応のグラフ\(G\left(f^{\bullet}\right)\)は
\[ G\left(f^{\bullet}\right)=\left\{ \left(y,x\right)\in Y\times X;\left(x,y\right)\in G\left(f\right)\right\} \] となる。
逆対応の性質
対応\(f:X\rightarrow Y\)のグラフを\(G\left(f\right)\)として逆対応\(f^{\bullet}:Y\rightarrow X\)のグラフを\(G\left(f^{\bullet}\right)\)とする。
(1)
\(x\in X,y\in Y\)とすると、\[ y\in f\left(x\right)\Leftrightarrow x\in f^{\bullet}\left(y\right) \] となる。
(2)
\[ \left(x,y\right)\in G\left(f\right)\Leftrightarrow\left(y,x\right)\in G\left(f^{\bullet}\right) \] となる。(3)
対応のグラフと逆対応のグラフの間には次の関係がある。\[ G\left(f^{\bullet}\right)=\left\{ \left(y,x\right);\left(x,y\right)\in G\left(f\right)\right\} \]
(4)
\[ f^{\bullet\bullet}=f \]\(f:\left\{ x_{1},x_{2}\right\} \rightarrow\left\{ y_{1},y_{2},y_{3}\right\} \)を\(f\left(x_{1}\right)=\left\{ y_{1},y_{2}\right\} ,f\left(x_{2}\right)=\left\{ y_{2}\right\} \)とすると、
\begin{align*} f^{\bullet}\left(y_{1}\right) & =\left\{ x\in\left\{ x_{1},x_{2}\right\} ;y_{1}\in f\left(x\right)\subseteq\left\{ y_{1},y_{2},y_{3}\right\} \right\} \\ & =\left\{ x_{1}\right\} \end{align*} \begin{align*} f^{\bullet}\left(y_{2}\right) & =\left\{ x\in\left\{ x_{1},x_{2}\right\} ;y_{2}\in f\left(x\right)\subseteq\left\{ y_{1},y_{2},y_{3}\right\} \right\} \\ & =\left\{ x_{1},x_{2}\right\} \end{align*} \begin{align*} f^{\bullet}\left(y_{3}\right) & =\left\{ x\in\left\{ x_{1},x_{2}\right\} ;y_{3}\in f\left(x\right)\subseteq\left\{ y_{1},y_{2},y_{3}\right\} \right\} \\ & =\emptyset \end{align*} となる。
この対応のグラフは\(G\left(f\right)=\left\{ \left(x_{1},y_{1}\right),\left(x_{1},y_{2}\right),\left(x_{2},y_{2}\right)\right\} \)となり、逆対応のグラフは\(G\left(f^{\bullet}\right)=\left\{ \left(y_{1},x_{1}\right),\left(y_{2},x_{1}\right),\left(y_{2},x_{2}\right)\right\} \)となる。
\begin{align*} f^{\bullet}\left(y_{1}\right) & =\left\{ x\in\left\{ x_{1},x_{2}\right\} ;y_{1}\in f\left(x\right)\subseteq\left\{ y_{1},y_{2},y_{3}\right\} \right\} \\ & =\left\{ x_{1}\right\} \end{align*} \begin{align*} f^{\bullet}\left(y_{2}\right) & =\left\{ x\in\left\{ x_{1},x_{2}\right\} ;y_{2}\in f\left(x\right)\subseteq\left\{ y_{1},y_{2},y_{3}\right\} \right\} \\ & =\left\{ x_{1},x_{2}\right\} \end{align*} \begin{align*} f^{\bullet}\left(y_{3}\right) & =\left\{ x\in\left\{ x_{1},x_{2}\right\} ;y_{3}\in f\left(x\right)\subseteq\left\{ y_{1},y_{2},y_{3}\right\} \right\} \\ & =\emptyset \end{align*} となる。
この対応のグラフは\(G\left(f\right)=\left\{ \left(x_{1},y_{1}\right),\left(x_{1},y_{2}\right),\left(x_{2},y_{2}\right)\right\} \)となり、逆対応のグラフは\(G\left(f^{\bullet}\right)=\left\{ \left(y_{1},x_{1}\right),\left(y_{2},x_{1}\right),\left(y_{2},x_{2}\right)\right\} \)となる。
(1)
\(y\in f\left(x\right)\)ならば、明らかに\(x\in f^{\bullet}\left(y\right)\)となる。逆も同様に成り立つ。
従って題意は成り立つ。
(2)
グラフは\(G\left(f\right)\subseteq X\times Y,G\left(f^{\bullet}\right)\subseteq Y\times X\)となるので、\begin{align*} \left(x,y\right)\in G\left(f\right) & \Leftrightarrow y\in f\left(x\right)\\ & \Leftrightarrow x\in f^{\bullet}\left(y\right)\\ & \Leftrightarrow\left(y,x\right)\in G\left(f^{\bullet}\right) \end{align*} となる。
従って題意は成り立つ。
(3)
\begin{align*} G\left(f^{\bullet}\right) & =\left\{ \left(y,x\right);\left(y,x\right)\in G\left(f^{\bullet}\right)\right\} \\ & =\left\{ \left(y,x\right);\left(x,y\right)\in G\left(f\right)\right\} \cmt{\because\left(x,y\right)\in G\left(f\right)\Leftrightarrow\left(y,x\right)\in G\left(f^{\bullet}\right)} \end{align*}(4)
\begin{align*} \left(x,y\right)\in G\left(f\right) & \Leftrightarrow\left(y,x\right)\in G\left(f^{\bullet}\right)\\ & \Leftrightarrow\left(x,y\right)\in G\left(f^{\bullet\bullet}\right) \end{align*} となるので、\(f=f^{\bullet\bullet}\)が成り立つ。
ページ情報
| タイトル | 逆対応の定義と性質 |
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\pi_{J}:X_{I}\rightarrow X_{J},\left(x_{i}\right)_{i\in I}\mapsto\left(x_{j}\right)_{j\in J}
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f|_{A}=f\circ i_{A}
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\[
\left(f_{1}\oplus f_{2}\right)\left(x\right)=\begin{cases}
f_{1}\left(x\right) & x\in X_{1}\setminus X_{2}\\
f_{2}\left(x\right) & x\in X_{2}\setminus X_{1}\\
f_{1}\mid_{X_{1}\cap X_{2}}\left(x\right)=f_{2}\mid_{X_{1}\cap X_{2}}\left(x\right) & x\in X_{1}\cap X_{2}
\end{cases}
\]
写像・対応のグラフの定義
\[
G\left(f\right)=\left\{ \left(x,f\left(x\right)\right)\in X\times Y;x\in X\right\}
\]